Determine a forma escalonada dos sistemas lineares abaixo e seu conjunto solução.
\left\{\begin{aligned}(2+3 \sqrt{2}) x_{1}-3 x_{2}+x_{3} & =0 \\\ (1-\sqrt{2}) x_{1}+\sqrt{2} x_{3} & =0\end{aligned}\right. sobre \mathbb{Q}[\sqrt{2}].

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado.
  • Pede: a forma escalonada do sistema linear dado e o conjunto solução, tudo considerado sobre o corpo \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\). - Sistema (copiado exatamente): \[\begin{cases} (2+3\sqrt{2})x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] (1-\sqrt{2})x_{1}+\sqrt{2}\,x_{3}=0. \end{cases}
  • Informações relevantes:
    • Há duas equações e três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\]. - Os coeficientes pertencem a \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}], que é um corpo (portanto podemos dividir por qualquer coeficiente não nulo).
      - Espera-se uma forma escalonada (usando eliminação de Gauss) e, depois, o conjunto solução paramétrico.]

Passo 2

Montar a matriz aumentada e escolher a estratégia.
  • Matriz dos coeficientes (colocando o lado direito zerado à parte):
\begin{pmatrix} 2+3\sqrt{2} & -3 & 1\\[4pt] 1-\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.
  • Vou usar eliminação de Gauss: escolher uma linha como pivô para eliminar a entrada correspondente na outra linha. Como o segundo linha tem coeficiente (1-\sqrt{2}) na coluna x_{1}, é conveniente usá-la para zerar a primeira linha nessa coluna.]

Passo 3

Calcular o multiplicador para eliminar x_{1} da primeira linha.
  • Queremos zerar a entrada (2+3\sqrt{2}) usando a linha (1-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2}). O multiplicador é
m=\frac{2+3\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}.
  • Para simplificar frações em \mathbb{Q}[\sqrt{2}] é útil multiplicar por conjugado. Calculo:
m=\frac{2+3\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} =\frac{(2+3\sqrt{2})(1+\sqrt{2})}{1-(\sqrt{2})^{2}}.
  • O denominador é 1-2=-1. O numerador:
(2+3\sqrt{2})(1+\sqrt{2})=2+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+3(\sqrt{2})^{2}=2+5\sqrt{2}+6=8+5\sqrt{2}.
  • Então
m=\frac{8+5\sqrt{2}}{-1}=-8-5\sqrt{2}.

Passo 4

Aplicar a operação de linha correspondente: L_{1}\leftarrow L_{1}-mL_{2}.
  • Como m=-8-5\sqrt{2}, temos L_{1}\leftarrow L_{1}-(-8-5\sqrt{2})L_{2}=L_{1}+(8+5\sqrt{2})L_{2}.
  • Calcule entrada a entrada:
    • Coluna x_{1}: por construção fica 0.
    • Coluna x_{2}:
    -3 + (8+5\sqrt{2})\cdot 0 = -3.
    • Coluna x_{3}:
    1 + (8+5\sqrt{2})\cdot\sqrt{2}.
    Calculo do produto:
    (8+5\sqrt{2})\sqrt{2}=8\sqrt{2}+5(\sqrt{2})^{2}=8\sqrt{2}+5\cdot 2=8\sqrt{2}+10.
    Logo a nova entrada é
    1 + 10 + 8\sqrt{2}=11+8\sqrt{2}.
  • Após essa operação a matriz fica
\begin{pmatrix} 0 & -3 & 11+8\sqrt{2}\\[4pt] 1-\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2} \end{pmatrix}.]

Passo 5

Colocar a forma escalonada propriamente dita (ordem dos pivôs da esquerda para a direita).
  • Para que a primeira linha tenha o pivô mais à esquerda, troco as linhas: L_{1}\leftrightarrow L_{2}. Assim:
\begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & -3 & 11+8\sqrt{2} \end{pmatrix}.
  • Esta matriz está em forma escalonada (cada linha não nula tem seu primeiro elemento não nulo mais à direita que o da linha acima). Podemos deixar assim como forma escalonada (não reduzida) ou escalar pivôs para 1 se preferir.]

Passo 6

Explicar como extrair o conjunto solução a partir da forma escalonada.
  • As equações correspondentes são: (1-\sqrt{2})x_{1}+\sqrt{2}\,x_{3}=0,
-3x_{2}+(11+8\sqrt{2})x_{3}=0.
  • Note que não há equação que imponha restrição sobre x_{3} isoladamente, então x_{3} é parâmetro livre. Vou chamar x_{3}=t com t\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}].

Passo 7

Resolver cada equação para as variáveis dependentes em função de t.
  • Da primeira equação:
(1-\sqrt{2})x_{1}+\sqrt{2}\,t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{1}=-\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\,t.
  • Simplifico a fração em \mathbb{Q}[\sqrt{2}]:
\frac{\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}\cdot\frac{1+\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}} =\frac{\sqrt{2}(1+\sqrt{2})}{1-2} =\frac{\sqrt{2}+2}{-1}=-(\sqrt{2}+2).
  • Portanto
x_{1}=-\bigl(-(\sqrt{2}+2)\bigr)t=(2+\sqrt{2})\,t.
  • Da segunda equação:
-3x_{2}+(11+8\sqrt{2})t=0 \quad\Rightarrow\quad x_{2}=\frac{11+8\sqrt{2}}{3}\,t.

Passo 8

Escrever o conjunto solução em forma paramétrica vetorial e comentar.
  • Tomando t\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}] livre, obtemos
x_{1}=(2+\sqrt{2})\,t,\qquad x_{2}=\frac{11+8\sqrt{2}}{3}\,t,\qquad x_{3}=t.
  • Em forma vetorial:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}2+\sqrt{2}\\[4pt]\dfrac{11+8\sqrt{2}}{3}\\[6pt]1\end{pmatrix},\qquad t\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}].
  • Observação rápida: o espaço solução é uma reta (subespaço de dimensão 1) em (\mathbb{Q}[\sqrt{2}])^{3}.]

Passo 9

Verificação rápida (confirmação que a solução satisfaz as equações).
  • Substituindo x_{1}=(2+\sqrt{2})t e x_{3}=t na segunda equação:
(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})t+\sqrt{2}t =(-( \sqrt{2}))t+\sqrt{2}t=0,
pois (1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})=-\sqrt{2} (cálculo direto).
  • Substituindo tudo na primeira equação também dá 0 (calculei durante o desenvolvimento e bate). Isso confirma a solução.

Resposta

Forma escalonada:
\begin{pmatrix} 1-\sqrt{2} & 0 & \sqrt{2}\\[4pt] 0 & -3 & 11+8\sqrt{2} \end{pmatrix}.
Conjunto solução:
\left\{\,\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\\[4pt]x_{3}\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}2+\sqrt{2}\\[6pt]\dfrac{11+8\sqrt{2}}{3}\\[6pt]1\end{pmatrix}:t\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\,\right\}.]

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