Determine a forma escalonada dos sistemas lineares abaixo e seu conjunto solução. \left\{\begin{aligned}(2+3 \sqrt{2}) x_{1}-3 x_{2}+x_{3} & =0 \\\ (1-\sqrt{2}) x_{1}+\sqrt{2} x_{3} & =0\end{aligned}\right. sobre \mathbb{Q}[\sqrt{2}].
Passo 1
O que o enunciado pede e o que é dado.
Pede: a forma escalonada do sistema linear dado e o conjunto solução, tudo considerado sobre o corpo \mathbb{Q}[\sqrt{2}]\).
- Sistema (copiado exatamente):
\[\begin{cases} (2+3\sqrt{2})x_{1}-3x_{2}+x_{3}=0,\\[4pt] (1-\sqrt{2})x_{1}+\sqrt{2}\,x_{3}=0. \end{cases}
Informações relevantes:
Há duas equações e três incógnitas \,x_{1},x_{2},x_{3}\].
- Os coeficientes pertencem a \(\mathbb{Q}[\sqrt{2}], que é um corpo (portanto podemos dividir por qualquer coeficiente não nulo).
- Espera-se uma forma escalonada (usando eliminação de Gauss) e, depois, o conjunto solução paramétrico.]
Passo 2
Montar a matriz aumentada e escolher a estratégia.
Matriz dos coeficientes (colocando o lado direito zerado à parte):
Vou usar eliminação de Gauss: escolher uma linha como pivô para eliminar a entrada correspondente na outra linha. Como o segundo linha tem coeficiente (1-\sqrt{2}) na coluna x_{1}, é conveniente usá-la para zerar a primeira linha nessa coluna.]
Passo 3
Calcular o multiplicador para eliminar x_{1} da primeira linha.
Queremos zerar a entrada (2+3\sqrt{2}) usando a linha (1-\sqrt{2},\,0,\,\sqrt{2}). O multiplicador é
m=\frac{2+3\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}.
Para simplificar frações em \mathbb{Q}[\sqrt{2}] é útil multiplicar por conjugado. Calculo:
Esta matriz está em forma escalonada (cada linha não nula tem seu primeiro elemento não nulo mais à direita que o da linha acima). Podemos deixar assim como forma escalonada (não reduzida) ou escalar pivôs para 1 se preferir.]
Passo 6
Explicar como extrair o conjunto solução a partir da forma escalonada.
As equações correspondentes são:(1-\sqrt{2})x_{1}+\sqrt{2}\,x_{3}=0,
-3x_{2}+(11+8\sqrt{2})x_{3}=0.
Note que não há equação que imponha restrição sobre x_{3} isoladamente, então x_{3} é parâmetro livre. Vou chamar x_{3}=t com t\in\mathbb{Q}[\sqrt{2}].
Passo 7
Resolver cada equação para as variáveis dependentes em função de t.