Sendo u \in \mathbb{R}^{3}, \operatorname{com} u \neq 0. Demonstre que, se v=\frac{1}{\|u\|} \cdot u então $|v|=1.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede.
  • Dado: u\in\mathbb{R}^{3} com u\neq 0.
  • Definição: v=\dfrac{1}{\|u\|}\cdot u.
  • Pedido: demonstrar que \|v\|=1.

Passo 2

Definição e propriedade básica da norma euclidiana em \mathbb{R}^{3}.
  • Para um vetor u=(u_{1},u_{2},u_{3}) define-se a norma euclidiana por
\|u\|=\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}}.
  • Como u\neq 0, conclui-se que \|u\|>0 (a soma de quadrados é positiva e a raiz quadrada é positiva).

Passo 3

Provar a propriedade de homogeneidade da norma: para qualquer escalar \lambda\in\mathbb{R} e qualquer u\in\mathbb{R}^{3} vale
\|\lambda u\|=|\lambda|\,\|u\|.
Demonstração direta usando a definição:
\|\lambda u\|=\sqrt{(\lambda u_{1})^{2}+(\lambda u_{2})^{2}+(\lambda u_{3})^{2}} =\sqrt{\lambda^{2}(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2})} =\sqrt{\lambda^{2}}\;\sqrt{u_{1}^{2}+u_{2}^{2}+u_{3}^{2}} =|\lambda|\,\|u\|.
Isto é elementar: fatorou-se \lambda^{2} dentro da raiz e usou-se \sqrt{\lambda^{2}}=|\lambda|.

Passo 4

Aplicar a propriedade ao caso concreto.
Tomando \lambda=\dfrac{1}{\|u\|} (note que este \lambda é bem definido e positivo porque \|u\|>0), obtemos
\|v\|=\left\|\frac{1}{\|u\|}u\right\|= \left|\frac{1}{\|u\|}\right|\,\|u\|.
Como \|u\|>0 tem-se \left|\dfrac{1}{\|u\|}\right|=\dfrac{1}{\|u\|}. Portanto
\|v\|=\frac{1}{\|u\|}\cdot\|u\|=1.

Passo 5

Pequeno exemplo numérico para fixar a ideia (opcional, mas ajuda a visualizar).
Se u=(2,0,0) então \|u\|=\sqrt{2^{2}+0+0}=2. Assim v=\dfrac{1}{2}(2,0,0)=(1,0,0) e \|v\|=\sqrt{1^{2}+0+0}=1. Funciona exatamente como a demonstração geral.

Resposta

\|v\|=1

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