Sejam T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear definida abaixo e \beta=\left\{e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)\right\} a base canônica ordenada do \mathbb{R}^{3} : T\left(e_{1}\right)=e_{1}=(1,0,0), T\left(e_{2}\right)=e_{3}=(0,0,1) e T\left(e_{3}\right)=e_{2}=(0,1,0). Ache T(1,3,2).
Passo 1
O enunciado dá uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e a base canônica ordenada \beta=\{e_1,e_2,e_3\} com
T(e_1)=e_1,\qquad T(e_2)=e_3,\qquad T(e_3)=e_2.
A pergunta é: achar T(1,3,2).
Informações relevantes dadas:
A base canônica é \beta=\{e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)\}.
As imagens de cada vetor da base sob T estão explicitadas acima.
Deve-se aplicar T ao vetor (1,3,2) e retornar o vetor resultante em \mathbb{R}^3.
Passo 2
Primeiro lembrete importante (o que vou usar): toda aplicação linear T satisfaz a propriedade da linearidade:
T\big(a u + b v\big)=a\,T(u)+b\,T(v)
para quaisquer escalares a,b e vetores u,v. Isso significa que, para calcular T em um vetor qualquer, basta escrever esse vetor como combinação linear dos vetores da base e aplicar T em cada parte multiplicando pelos coeficientes.
Passo 3
Escrever o vetor dado (1,3,2) como combinação linear da base canônica. Como a base é canônica, basta ler as coordenadas:
(1,3,2)=1\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 2\cdot e_3.
Aqui o significado de cada símbolo:
e_1,e_2,e_3 são os vetores da base canônica.
Os números 1,3,2 são os coeficientes na combinação linear.
Checagem rápida (intuição): T troca as componentes 2 e 3 e deixa a componente 1 inalterada. Aplicando isso em (1,3,2) trocamos 3 e 2, ficando (1,2,3). Isso é coerente com as contas formais acima.