2^{\underline{\text { a }}} Questão:

Sejam T: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} a aplicação linear definida abaixo e
\beta=\left\{e_{1}=(1,0,0), e_{2}=(0,1,0), e_{3}=(0,0,1)\right\} a base canônica ordenada do \mathbb{R}^{3} : T\left(e_{1}\right)=e_{1}=(1,0,0), T\left(e_{2}\right)=e_{3}=(0,0,1) e T\left(e_{3}\right)=e_{2}=(0,1,0). Ache T(1,3,2).

Passo 1

O enunciado dá uma aplicação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3 e a base canônica ordenada \beta=\{e_1,e_2,e_3\} com
T(e_1)=e_1,\qquad T(e_2)=e_3,\qquad T(e_3)=e_2.
A pergunta é: achar T(1,3,2).
Informações relevantes dadas:
  • A base canônica é \beta=\{e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)\}.
  • As imagens de cada vetor da base sob T estão explicitadas acima.
  • Deve-se aplicar T ao vetor (1,3,2) e retornar o vetor resultante em \mathbb{R}^3.

Passo 2

Primeiro lembrete importante (o que vou usar): toda aplicação linear T satisfaz a propriedade da linearidade:
T\big(a u + b v\big)=a\,T(u)+b\,T(v)
para quaisquer escalares a,b e vetores u,v. Isso significa que, para calcular T em um vetor qualquer, basta escrever esse vetor como combinação linear dos vetores da base e aplicar T em cada parte multiplicando pelos coeficientes.

Passo 3

Escrever o vetor dado (1,3,2) como combinação linear da base canônica. Como a base é canônica, basta ler as coordenadas:
(1,3,2)=1\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 2\cdot e_3.
Aqui o significado de cada símbolo:
  • e_1,e_2,e_3 são os vetores da base canônica.
  • Os números 1,3,2 são os coeficientes na combinação linear.

Passo 4

Aplicar T usando linearidade:
T(1,3,2)=T\big(1\cdot e_1 + 3\cdot e_2 + 2\cdot e_3\big) =1\cdot T(e_1) + 3\cdot T(e_2) + 2\cdot T(e_3).
Agora substituo as imagens dadas no enunciado:
T(e_1)=e_1,\qquad T(e_2)=e_3,\qquad T(e_3)=e_2.

Passo 5

Substituindo essas imagens na expressão:
T(1,3,2)=1\cdot e_1 + 3\cdot e_3 + 2\cdot e_2.
Reordenando para ficar na ordem (e_1,e_2,e_3):
T(1,3,2)=1\cdot e_1 + 2\cdot e_2 + 3\cdot e_3.
Convertendo para coordenadas na base canônica ( e_1=(1,0,0),\,e_2=(0,1,0),\,e_3=(0,0,1)):
T(1,3,2)=(1,2,3).

Passo 6

(Alternativa — método com matriz) Para reforçar: a matriz de T na base canônica tem colunas iguais a T(e_1),T(e_2),T(e_3). Assim
A=[T]_{\beta}^{\beta}= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}.
Multiplicando A pelo vetor coluna \begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1\\[2pt]3\\[2pt]2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[4pt] 2\\[4pt] 3 \end{pmatrix},
confirmando o resultado encontrado antes.]

Passo 7

Checagem rápida (intuição): T troca as componentes 2 e 3 e deixa a componente 1 inalterada. Aplicando isso em (1,3,2) trocamos 3 e 2, ficando (1,2,3). Isso é coerente com as contas formais acima.

Resposta

(1,2,3)

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