Encontre a forma escalonada dos seguintes sistemas lineares sobre \mathbb{C} e determine seu conjunto solução. \left\{\begin{array}{r}2 x_{1}-3 x_{2}=-2 \\\\ 2 x_{1}+x_{2}=1 \\\\ 3 x_{1}+2 x_{2}=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá um sistema linear com três equações e duas incógnitas e pede duas coisas: (i) encontrar a forma escalonada (escalonamento da matriz aumentada) e (ii) determinar o conjunto solução. As equações fornecidas são:
Três equações (sistema possivelmente sobredeterminado).
Vamos trabalhar sobre \mathbb{C} (mas aqui os coeficientes são reais inteiros, então o procedimento é o mesmo).]
Passo 2
Rápida explicação do método que usarei (sem pular etapas):
Vou montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações elementares de linha até obter uma forma escalonada (linha principal não nula mais à esquerda que as linhas abaixo, e zeros abaixo dos pivôs).
Operações elementares permitidas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, adicionar a uma linha um múltiplo de outra. Essas operações preservam o conjunto solução do sistema.
Quando, na forma escalonada, aparecer uma linha do tipo \bigl[0\;0\mid c\bigr] com c\neq0, isso significa 0=c, i.e., contradição => sistema inconsistente (sem solução).
Passo 3
Monte a matriz aumentada do sistema. Cada linha é os coeficientes de x_{1},x_{2} e o termo independente:
Eliminação na coluna 1 (criar zeros abaixo do primeiro pivô). Primeiro pivô é o elemento 2 em posição (1,1).
Faço a operação R_{2}\leftarrow R_{2}-R_{1}. Calculo linha a linha:
R_{2}: (2,\,1\,\mid\,1) - (2,\, -3\,\mid\,-2) = (0,\,4\,\mid\,3).
Logo a matriz vira
Ainda eliminando abaixo do pivô da primeira coluna, quero zerar a entrada na linha 3, coluna 1. Para evitar frações, uso combinação inteira: faço R_{3}\leftarrow 2R_{3}-3R_{1}. Calculo:
2R_{3}=(6,\,4\,\mid\,2),
3R_{1}=(6,\,-9\,\mid\,-6),
Subtraindo: 2R_{3}-3R_{1}=(0,\,13\,\mid\,8).
Assim a matriz passa a ser
Eliminação na coluna 2 (criar zeros abaixo do pivô da segunda linha). O pivô da segunda linha é 4 em posição (2,2). Quero zerar a entrada 13 da linha 3, coluna 2. Para manter números inteiros, faço 4R_{3}-13R_{2}. Calculo:
4R_{3}=(0,\,52\,\mid\,32),
13R_{2}=(0,\,52\,\mid\,39),
Subtraindo: 4R_{3}-13R_{2}=(0,\,0\,\mid\, -7).
Portanto a matriz fica
Isto é uma forma escalonada (há pivôs nas colunas 1 e 2 e a última linha é toda zeros na parte dos coeficientes).]
Passo 7
Interpretação da última linha: ela representa a equação
0\cdot x_{1}+0\cdot x_{2}=-7,
ou seja 0=-7, que é uma contradição. Quando a forma escalonada apresenta uma linha com todos os coeficientes das incógnitas iguais a zero e término independente diferente de zero, concluímos que o sistema é inconsistente — não existe nenhum par (x_{1},x_{2}) que satisfaça todas as equações simultaneamente.