(a) Determine a forma geral da equação das linhas de força do campo
.
(b) Especifique a direção de
no ponto
por um vetor unitário.
(b) Especifique a direção de
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede duas coisas:
(a) A “forma geral” das linhas de força de um campo elétrico .
(b) A direção de no ponto
, expressa como vetor unitário.
Isso cai na matéria de “linhas de campo” (ou linhas de força) e um pouquinho de vetores unitários. Vamos precisar saber que, pra achar as linhas de força de um campo 2D, basta resolver . E, pra achar o vetor unitário, a gente divide o vetor pelo seu módulo.
(a) A “forma geral” das linhas de força de um campo elétrico
(b) A direção de
Isso cai na matéria de “linhas de campo” (ou linhas de força) e um pouquinho de vetores unitários. Vamos precisar saber que, pra achar as linhas de força de um campo 2D, basta resolver
Passo 2
Primeiro a gente monta a equação diferencial das linhas de força. Sabemos que
Aqui
e
. Então
Isso é só separar as variáveis e integrar.
Passo 3
Reescrevendo a equação separável:
Agora integramos dos dois lados:
onde
é a constante de integração. Se você quiser, dá pra escrever de vários jeitos equivalentes; por exemplo:
ou
Essa é a família de curvas que descreve as linhas de força.
Passo 4
Agora a parte (b). Vamos avaliar
em
:
O módulo desse vetor é
Então o vetor unitário na direção de
é
Resposta
(a) As linhas de força são dadas por
com
constante.
(b) Vetor unitário na direção de em
:
(b) Vetor unitário na direção de