(a) Determine a forma geral da equação das linhas de força do campo E=10 x y ax+5 x^2 ay.
(b) Especifique a direção de E no ponto (2,3,-5) por um vetor unitário.

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede duas coisas:
(a) A “forma geral” das linhas de força de um campo elétrico .
(b) A direção de no ponto , expressa como vetor unitário.
Isso cai na matéria de “linhas de campo” (ou linhas de força) e um pouquinho de vetores unitários. Vamos precisar saber que, pra achar as linhas de força de um campo 2D, basta resolver . E, pra achar o vetor unitário, a gente divide o vetor pelo seu módulo.

Passo 2

Primeiro a gente monta a equação diferencial das linhas de força. Sabemos que
dydx ;=;EyEx
Aqui dydx ;=;5x^210xy ;=;x2y e . Então
Isso é só separar as variáveis e integrar.

Passo 3

Reescrevendo a equação separável:
2y,dy = x,dx
Agora integramos dos dois lados:
integral 2y,dy = integral x,dx ;Longrightarrow; y^2 = x^22 + C,
onde 2y^2 - x^2 = C', é a constante de integração. Se você quiser, dá pra escrever de vários jeitos equivalentes; por exemplo:
y^2 - x^22 = C
ou
Essa é a família de curvas que descreve as linhas de força.

Passo 4

Agora a parte (b). Vamos avaliar vec E(2,3,-5) = 10cdot2cdot3,vec ax + 5cdot2^2,vec ay = 60,vec ax + 20,vec ay em |vec E|=raiz60^2 + 20^2 =raiz3600 + 400 =raiz4000 =20raiz10 :
hat e =vec E|vec E| =gl(6020raiz10,,2020raiz10,,0gr) =l(3raiz10,,1raiz10,,0r)
O módulo desse vetor é
Então o vetor unitário na direção de é

Resposta

(a) As linhas de força são dadas por
y^2 - x^22 = C,
com hat e = l(tfrac3raiz10,,tfrac1raiz10,,0r) constante.
(b) Vetor unitário na direção de em :

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