Um bal o esf rico de di metro 22 m ser enchido com h lio. A massa do conjunto balão + cabos + cesto de 477 kg . O bal o transportar cargas até certa altitude, onde as densidades do hélio e do ar valem 0,15 kg / m^3 e 1,24 kg / m^3, respectivamente. Estime a carga máxima que o balão ser capaz de transportar.
Resposta:

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício que envolve flutuabilidade e densidades dos gases. Precisamos descobrir qual é a carga máxima que um balão de hélio pode transportar. Para isso, vamos precisar calcular o volume do balão, entender como a diferença de densidades entre o ar e o hélio gera a força de sustentação, e então determinar quanto essa força pode suportar descontando o peso do balão e de seus componentes.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o volume do balão. Sabemos que o balão é esférico e tem um diâmetro de 22 metros. Para encontrar o volume de uma esfera, usamos a fórmula:
V = 43 pi r^3
Onde $ r $ é o raio da esfera. Como o diâmetro é 22 m, o raio $ r $ é metade disso:
r
Agora, substituímos na fórmula:
r
Então, o volume do balão é aproximadamente 5575 metros cúbicos.

Passo 3

Agora, vamos calcular a força de sustentação que o balão proporciona. Essa força é igual à diferença entre o peso do ar deslocado pelo balão e o peso do hélio contido nele. A fórmula para a força de sustentação ($ F $) é:
F
Onde:
  • $ \rho_{ar} = 1,24 , kg/m^3 $ (densidade do ar)
  • $ \rho_{hei} = 0,15 , kg/m^3 $ (densidade do hélio)
  • $ V = 5575 , m^3 $ (volume do balão)
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $ (aceleração da gravidade)
Substituindo os valores:
F = (rhoar - rhohei) times V times g
Então, a força de sustentação é aproximadamente 59.467 Newtons.

Passo 4

Agora, precisamos considerar o peso do balão, cabos e cesto, que é dado como 477 kg. O peso ($ W $) é calculado por:
W
Então, o peso total é aproximadamente 4.679 Newtons.

Passo 5

Finalmente, para encontrar a carga máxima que o balão pode transportar ($ C $), subtraímos o peso do balão da força de sustentação:
C
Para converter essa força em massa, usamos:
C = F - W = 59.467 - 4.679 approx 54.788 , N

Resposta

A carga máxima que o balão pode transportar é de aproximadamente 5.585 kg.

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