Sejam as seguintes distribuições de carga no vácuo:
na superfície
;
na superfície
na superficie
e
na reta
. Determine
no ponto
.
Passo 1
Resumo do enunciado: Temos três distribuições de carga em superfícies infinitas (planos) e uma distribuição numa linha infinita, todas no vácuo, com densidades conhecidas. Queremos calcular o campo elétrico resultante
num ponto
.
Conteúdo da matéria: superposição de campos elétricos; resultados de Gauss para plano infinito ( ) e linha infinita (
).
O que vamos precisar:
Conteúdo da matéria: superposição de campos elétricos; resultados de Gauss para plano infinito (
O que vamos precisar:
- Saber aplicar a fórmula do campo de um plano infinitamente extenso com densidade
. - Saber aplicar a fórmula do campo de uma linha infinitamente extensa com densidade
. - Somar vetorialmente todas as contribuições.
Passo 2
Campo devido ao plano em
com
nC/m
.
– Fórmula:
– Cálculo numérico:
– Cálculo numérico:
– Direção: o plano normal é
. Como
e o ponto está em
, o campo aponta para o +
.
Logo
Passo 3
Plano em
com
nC/m
.
– Mesma magnitude:
– Direção: normal . Como
, o campo aponta em direção ao plano. O ponto está em
, então para
.
Logo
– Direção: normal
Logo
Passo 4
Plano em
com
nC/m
.
– Magnitude:
– Magnitude:
$$E_3=\frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0}
=\frac{0{,}4\times10{-9}}{2\cdot8{,}85\times10{-12}}\approx22{,}58\rm,N/C.
\vec E_3=+22{,}58,\hat x;(\rm N/C).$$
Passo 5
Linha infinita em
com
nC/m.
– Distância perpendicular do ponto à linha:
– Distância perpendicular do ponto à linha:
– Fórmula do campo de linha infinita:
$$E_\ell=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0,r}
=\frac{0{,}4\pi\times10{-9}}{2\pi\cdot8{,}85\times10{-12},\sqrt{17}}
=\frac{0{,}4\times10{-9}}{2,8{,}85\times10{-12},\sqrt{17}}
=\frac{0{,}4\times10{-9}}{2,8{,}85\times10{-12},\sqrt{17}}
\approx5{,}48\rm,N/C.
\vec E_\ell
=5{,}48;\frac{(-1,0,-4)}{\sqrt{17}}
\approx(-1{,}33,\hat x;-;5{,}31,\hat z)😭\rm N/C).$$
Passo 6
Somando todas as contribuições:
$$\vec E=\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3+\vec E_\ell
=(0,\hat y)+22{,}58,\hat x+(-1{,}33,\hat x-5{,}31,\hat z)$$
$$\vec E=(22{,}58-1{,}33),\hat x+0,\hat y-5{,}31,\hat z
=(21{,}25,\hat x);-;(5{,}31,\hat z)😭\rm N/C).
|\vec E|=\sqrt{21{,}252+(-5{,}31)2}
\approx\sqrt{451{,}6+28{,}2}\approx21{,}9\rm,N/C.$$