Sejam as seguintes distribuições de carga no vácuo: 0,25 nC / m^2 na superfície y=2; -0,25 nC / m^2 na superfície y=-1 ; 0,4 nC / m^2 na superficie x=-4 e 0,4 pi nC / m na reta x=2, z=3. Determine E e |E| no ponto (1,3,-1).

Passo 1

Resumo do enunciado: Temos três distribuições de carga em superfícies infinitas (planos) e uma distribuição numa linha infinita, todas no vácuo, com densidades conhecidas. Queremos calcular o campo elétrico resultante vec E num ponto (1,3,-1).
Conteúdo da matéria: superposição de campos elétricos; resultados de Gauss para plano infinito ( E=sigma/2varepsilon0) e linha infinita ( E=lambda/(2pivarepsilon0 r)).
O que vamos precisar:
  • Saber aplicar a fórmula do campo de um plano infinitamente extenso com densidade sigma.
  • Saber aplicar a fórmula do campo de uma linha infinitamente extensa com densidade lambda.
  • Somar vetorialmente todas as contribuições.

Passo 2

Campo devido ao plano em y=2 com sigma1=0,25,nC/m ^2.
– Fórmula: E1=sigma12varepsilon0,,varepsilon0=8,85times10^-12rm,F/m
– Cálculo numérico:
E1=0,25times10^-92times8,85times10^-12approx14,12rm,N/C
– Direção: o plano normal é hat y. Como sigma1>0 e o ponto está em y=3>2, o campo aponta para o + hat y.
Logo vec E1=+14,12,hat y;(rm N/C)

Passo 3

Plano em y=-1 com sigma2=-0,25,nC/m ^2.
– Mesma magnitude: E2=|sigma2|2varepsilon0approx14,12rm,N/C
– Direção: normal hat y. Como sigma2<0, o campo aponta em direção ao plano. O ponto está em y=3>-1, então para -hat y.
Logo vec E2=-14,12,hat y;(rm N/C)

Passo 4

Plano em x=-4 com sigma3=0,4,nC/m ^2.
– Magnitude:
$$E_3=\frac{\sigma_3}{2\varepsilon_0}
=\frac{0{,}4\times10{-9}}{2\cdot8{,}85\times10{-12}}\approx22{,}58\rm,N/C. E3=sigma32varepsilon0 =0,4times10^-92cdot8,85times10^-12approx22,58rm,N/Cçãã\vec E_3=+22{,}58,\hat x;(\rm N/C).$$

Passo 5

Linha infinita em (x=2,z=3) com lambda=0,4pi,nC/m.
– Distância perpendicular do ponto à linha:
r=raiz(1-2)^2+(-1-3)^2=raiz1+16=raiz17;rm m
– Fórmula do campo de linha infinita:
$$E_\ell=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0,r}
=\frac{0{,}4\pi\times10{-9}}{2\pi\cdot8{,}85\times10{-12},\sqrt{17}}
=\frac{0{,}4\times10{-9}}{2,8{,}85\times10{-12},\sqrt{17}}
\approx5{,}48\rm,N/C. Eell=lambda2pivarepsilon0,r =0,4pitimes10^-92picdot8,85times10^-12,raiz17 =0,4times10^-92,8,85times10^-12,raiz17 approx5,48rm,N/Cçãé\vec E_\ell
=5{,}48;\frac{(-1,0,-4)}{\sqrt{17}}
\approx(-1{,}33,\hat x;-;5{,}31,\hat z)😭\rm N/C).$$

Passo 6

Somando todas as contribuições:
$$\vec E=\vec E_1+\vec E_2+\vec E_3+\vec E_\ell
=(0,\hat y)+22{,}58,\hat x+(-1{,}33,\hat x-5{,}31,\hat z)$$
$$\vec E=(22{,}58-1{,}33),\hat x+0,\hat y-5{,}31,\hat z
=(21{,}25,\hat x);-;(5{,}31,\hat z)😭\rm N/C). vec E=vec E1+vec E2+vec E3+vec Eell =(0,hat y)+22,58,hat x+(-1,33,hat x-5,31,hat z)ó|\vec E|=\sqrt{21{,}252+(-5{,}31)2}
\approx\sqrt{451{,}6+28{,}2}\approx21{,}9\rm,N/C.$$

Resposta

vec E(1,3,-1)=(21,25,hat x;-;5,31,hat z);N/C, |vec E|approx21,9;N/C.

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