Determine a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em x e y. Determine também a função harmônica conjugada e a função f=u+iv.

Passo 1

Vamos lá! A gente precisa descobrir a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em e . Além disso, temos que encontrar a função harmônica conjugada e a função . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são polinômios homogêneos, funções harmônicas e como encontrar suas funções conjugadas.

Passo 2

Primeiro, o que é um polinômio homogêneo de grau 3? É um polinômio onde todos os termos têm o mesmo grau total, que no caso é 3. Em duas variáveis u(x, y) = a x^3 + b x^2 y + c x y^2 + d y^3 e , um polinômio homogêneo de grau 3 geral tem a forma:
Aqui, , , e são constantes que precisamos determinar.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre funções harmônicas. Uma função partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 é harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace:
Então, nosso polinômio precisa satisfazer essa condição para ser considerado harmônico.

Passo 4

Vamos calcular as segundas derivadas de partial upartial x = 3a x^2 + 2b x y + c y^2 em relação a partial^2 upartial x^2 = 6a x + 2b y e partial upartial y = b x^2 + 2c x y + 3d y^2 .
Primeiro, a derivada de partial^2 upartial y^2 = 2c x + 6d y em relação a :
E a segunda derivada em relação a :
Agora, a derivada de em relação a :
E a segunda derivada em relação a :

Passo 5

Aplicando a Equação de Laplace:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = (6a x + 2b y) + (2c x + 6d y) = 0
Para que isso seja verdade para todo 6a + 2c = 0 2b + 6d = 0 e , os coeficientes dos termos devem ser iguais a zero. Então, temos:

Passo 6

Resolvendo essas equações:
Da primeira equação:
6a + 2c = 0 Rightarrow c = -3a
Da segunda equação:
2b + 6d = 0 Rightarrow d = -13b

Passo 7

Substituindo u(x, y) = a x^3 + b x^2 y - 3a x y^2 - 13b y^3 e u(x, y) = a (x^3 - 3x y^2) + b (3x^2 y - y^3) na expressão original de :
Podemos reescrever isso de forma mais elegante:

Passo 8

Então, a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em u(x, y) = a (x^3 - 3x y^2) + b (3x^2 y - y^3) e é:
Onde e são constantes reais.

Passo 9

Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada partial upartial x = partial vpartial y partial upartial y = -partial vpartial x tal que seja uma função analítica. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:

Passo 10

Calculando as derivadas de partial upartial x = 3a x^2 - 3a y^2 + 6b x y partial upartial y = -6a x y + 3b x^2 - 3b y^2 :

Passo 11

Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
partial vpartial y = 3a x^2 - 3a y^2 + 6b x y -partial vpartial x = -6a x y + 3b x^2 - 3b y^2

Passo 12

Integrando v(x, y) = integral (3a x^2 - 3a y^2 + 6b x y) dy = 3a x^2 y - a y^3 + 3b x y^2 + phi(x) em relação a para encontrar :
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de .

Passo 13

Derivando partial vpartial x = 6a x y + 3b y^2 + phi'(x) em relação a -partial vpartial x = -6a x y + 3b x^2 - 3b y^2 e comparando com a equação 6a x y + 3b y^2 + phi'(x) = -6a x y + 3b x^2 - 3b y^2 :
phi'(x) = 3b x^2
Comparando com:
phi(x) = b x^3 + C
Isso nos dá:
Resolvendo para :
Integrando:
Onde é uma constante, que podemos considerar zero.

Passo 14

Então, a função harmônica conjugada v(x, y) = 3a x^2 y - a y^3 + 3b x y^2 - b x^3 é:

Passo 15

Por fim, a função analítica f(x, y) = [a (x^3 - 3x y^2) + b (3x^2 y - y^3)] + i [3a x^2 y - a y^3 + 3b x y^2 - b x^3] fica:

Resposta

A forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em u(x, y) = a (x^3 - 3x y^2) + b (3x^2 y - y^3) e v(x, y) = 3a x^2 y - a y^3 + 3b x y^2 - b x^3 é:
f(x, y) = [a (x^3 - 3x y^2) + b (3x^2 y - y^3)] + i [3a x^2 y - a y^3 + 3b x y^2 - b x^3]
onde e são constantes reais. A função harmônica conjugada é:
E a função analítica associada é:

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