Determine a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau
em
e
. Determine também a função harmônica conjugada e a função
.
Passo 1
Vamos lá! A gente precisa descobrir a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em
e
. Além disso, temos que encontrar a função harmônica conjugada e a função
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são polinômios homogêneos, funções harmônicas e como encontrar suas funções conjugadas.
Passo 2
Primeiro, o que é um polinômio homogêneo de grau 3? É um polinômio onde todos os termos têm o mesmo grau total, que no caso é 3. Em duas variáveis
e
, um polinômio homogêneo de grau 3 geral tem a forma:
Aqui,
,
,
e
são constantes que precisamos determinar.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre funções harmônicas. Uma função
é harmônica se ela satisfaz a Equação de Laplace:
Então, nosso polinômio
precisa satisfazer essa condição para ser considerado harmônico.
Passo 4
Vamos calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
.
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Agora, a derivada de
em relação a
:
E a segunda derivada em relação a
:
Passo 5
Aplicando a Equação de Laplace:
Para que isso seja verdade para todo
e
, os coeficientes dos termos devem ser iguais a zero. Então, temos:
Passo 6
Resolvendo essas equações:
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 7
Substituindo
e
na expressão original de
:
Podemos reescrever isso de forma mais elegante:
Passo 8
Então, a forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em
e
é:
Onde
e
são constantes reais.
Passo 9
Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada
tal que
seja uma função analítica. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Passo 10
Calculando as derivadas de
:
Passo 11
Aplicando as Equações de Cauchy-Riemann:
Passo 12
Integrando
em relação a
para encontrar
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
.
Passo 13
Derivando
em relação a
e comparando com a equação
:
Comparando com:
Isso nos dá:
Resolvendo para
:
Integrando:
Onde
é uma constante, que podemos considerar zero.
Passo 14
Então, a função harmônica conjugada
é:
Passo 15
Por fim, a função analítica
fica:
Resposta
A forma geral dos polinômios homogêneos e harmônicos de grau 3 em
e
é:
onde
e
são constantes reais. A função harmônica conjugada é:
E a função analítica associada
é: