Mostre que as funções u dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função f=u+iv em cada caso:
u=sen x cosh y.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função é harmônica em todo o plano. Isso está relacionado com a matéria de Equações Diferenciais Parciais, especificamente a Equação de Laplace. Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas de em relação a e e verificar se a soma delas é zero. Depois, vamos encontrar a função harmônica conjugada usando as Equações de Cauchy-Riemann e, por fim, montar a função analítica .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de u = sin x cosh y em relação a ux = partial upartial x = cos x cosh y e uxx = partial^2 upartial x^2 = -sin x cosh y .
A função dada é:
Vamos derivar em relação a :
E derivar novamente em relação a :

Passo 3

Agora, vamos derivar uy = partial upartial y = sin x sinh y em relação a uyy = partial^2 upartial y^2 = sin x cosh y :
E derivar novamente em relação a :

Passo 4

Com as segundas derivadas calculadas, vamos somá-las para verificar se satisfazem a Equação de Laplace:
uxx + uyy = -sin x cosh y + sin x cosh y = 0
Como a soma é zero, confirmamos que é uma função harmônica em todo o plano.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada vx = uy e vy = -ux . Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
uy = sin x sinh y e ux = cos x cosh y
Já sabemos que:
vx = sin x sinh y e vy = -cos x cosh y
Então:

Passo 6

Vamos integrar v = integral vx , dx = integral sin x sinh y , dx = -cos x sinh y + C(y) em relação a vy = -cos x cosh y + C'(y) para encontrar vy = -cos x cosh y :
-cos x cosh y + C'(y) = -cos x cosh y implies C'(y) = 0
Onde é uma função de .
Agora, derivamos em relação a :
Mas sabemos que:
Comparando as duas expressões:
Portanto, é uma constante, que podemos considerar zero sem perda de generalidade.

Passo 7

Assim, a função harmônica conjugada é:
v = -cos x sinh y
E a função analítica f = u + iv = sin x cosh y + i(-cos x sinh y) = sin x cosh y - i cos x sinh y fica:

Resposta

A função f = sin x cosh y - i cos x sinh y é harmônica em todo o plano. Sua função harmônica conjugada é e a função analítica associada é:

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