Mostre que as funções
dos Exercs. 5 a 7 são harmônicas em todo o plano. Determine a função harmônica conjugada e a função
em cada caso:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a função
é harmônica em todo o plano. Isso está relacionado com a matéria de Equações Diferenciais Parciais, especificamente a Equação de Laplace. Para resolver, vamos precisar calcular as segundas derivadas de
em relação a
e
e verificar se a soma delas é zero. Depois, vamos encontrar a função harmônica conjugada
usando as Equações de Cauchy-Riemann e, por fim, montar a função analítica
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A função dada é:
Vamos derivar
em relação a
:
E derivar novamente em relação a
:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
:
E derivar novamente em relação a
:
Passo 4
Com as segundas derivadas calculadas, vamos somá-las para verificar se satisfazem a Equação de Laplace:
Como a soma é zero, confirmamos que
é uma função harmônica em todo o plano.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função harmônica conjugada
. Para isso, usamos as Equações de Cauchy-Riemann:
Já sabemos que:
Então:
Passo 6
Vamos integrar
em relação a
para encontrar
:
Onde
é uma função de
.
Agora, derivamos
em relação a
:
Mas sabemos que:
Comparando as duas expressões:
Portanto,
é uma constante, que podemos considerar zero sem perda de generalidade.
Passo 7
Assim, a função harmônica conjugada é:
E a função analítica
fica:
Resposta
A função
é harmônica em todo o plano. Sua função harmônica conjugada é
e a função analítica associada é: