Mostre que
é harmônica em todo o plano. Determine sua conjugada
e expresse
em termos de
.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: Precisamos mostrar que
é uma função harmônica em todo o plano. Além disso, devemos encontrar sua função conjugada
e expressar a função
em termos de
.
Para isso, vamos utilizar conceitos de funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann que conectam as partes real e imaginária de funções analíticas.
Passo 2
Uma função
é chamada harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Vamos verificar se
satisfaz essa condição.
Passo 3
Primeiro, calculamos as derivadas parciais de
:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 4
Agora, calculamos as derivadas de segunda ordem:
- Segunda derivada de
em relação a :
- Segunda derivada de
em relação a :
Passo 5
Somando as segundas derivadas:
Como a soma é igual a zero,
satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é uma função harmônica no plano inteiro.
Passo 6
Agora, vamos encontrar a função conjugada
que, juntamente com
, forma uma função analítica
.
Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
Já conhecemos as derivadas parciais de
:
Portanto, temos:
Passo 7
Vamos integrar as equações parciais para encontrar
.
Primeiro, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de integração que depende apenas de
.
Agora, usamos
:
Integrando, temos:
Onde
é uma constante. Podemos desprezar
assumindo
.
Portanto,
Passo 8
Agora, vamos expressar
em termos de
.
Sabemos que
e
.
Queremos escrever
em função de
. Observando que
e a expressão de
que encontramos, podemos combinar os termos para obter:
Simplificando e agrupando os termos, percebemos que
pode ser expressa como uma combinação linear de
e
:
Resposta
A função analítica é
.