Mostre que u=x-5xy é harmônica em todo o plano. Determine sua conjugada v e expresse f=u+iv em termos de z=x+iy.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: Precisamos mostrar que é uma função harmônica em todo o plano. Além disso, devemos encontrar sua função conjugada e expressar a função em termos de .
Para isso, vamos utilizar conceitos de funções harmônicas e as equações de Cauchy-Riemann que conectam as partes real e imaginária de funções analíticas.

Passo 2

Uma função partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 é chamada harmônica se ela satisfaz a equação de Laplace:
Vamos verificar se satisfaz essa condição.

Passo 3

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de partial upartial x = 1 - 5y :
  • Derivada de partial upartial y = -5x em relação a :
  • Derivada de em relação a :

Passo 4

Agora, calculamos as derivadas de segunda ordem:
  • Segunda derivada de partial^2 upartial x^2 = 0 em relação a partial^2 upartial y^2 = 0 :
  • Segunda derivada de em relação a :

Passo 5

Somando as segundas derivadas:
partial^2 upartial x^2 + partial^2 upartial y^2 = 0 + 0 = 0
Como a soma é igual a zero, satisfaz a equação de Laplace e, portanto, é uma função harmônica no plano inteiro.

Passo 6

Agora, vamos encontrar a função conjugada partial upartial x = partial vpartial y que, juntamente com partial upartial y = -partial vpartial x , forma uma função analítica partial upartial x = 1 - 5y .
Para isso, usamos as equações de Cauchy-Riemann:
partial upartial y = -5x
partial vpartial y = 1 - 5y
Já conhecemos as derivadas parciais de -partial vpartial x = -5x Rightarrow partial vpartial x = 5x :
Portanto, temos:

Passo 7

Vamos integrar as equações parciais para encontrar v = integral (1 - 5y) , dy = y - 52y^2 + phi(x) .
Primeiro, integramos partial vpartial x = d phi(x)dx = 5x em relação a phi(x) = 52x^2 + C :
v = y - 52y^2 + 52x^2
Aqui, é uma função de integração que depende apenas de .
Agora, usamos :
Integrando, temos:
Onde é uma constante. Podemos desprezar assumindo .
Portanto,

Passo 8

Agora, vamos expressar f(z) = u + iv = x - 5xy + i(y - 52y^2 + 52x^2) em termos de f(z) = 52 z^2 - 12 z .
Sabemos que e .
Queremos escrever em função de . Observando que e a expressão de que encontramos, podemos combinar os termos para obter:
Simplificando e agrupando os termos, percebemos que pode ser expressa como uma combinação linear de e :

Resposta

A função analítica é .

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