Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:

y \prime \prime=t^{3}(1+\sin (t))

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''=t^{3}(1+\sin t)
e pede: determinar a forma geral da solução particular. Informações relevantes: o lado direito é a soma de duas parcelas, \;t^{3} e \;t^{3}\sin t. Não há outras condições iniciais; só se quer a forma geral (ansatz) da solução particular.

Passo 2

Observação simples e útil: por linearidade do operador D^{2} (onde D é a derivada), uma solução particular para a soma do lado direito pode ser obtida como soma de soluções particulares para cada parcela separadamente. Ou seja, se y_{p1}''=t^{3} e y_{p2}''=t^{3}\sin t, então uma solução particular para a EDO inteira é
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}.
Vamos achar a forma geral de y_{p1} e a forma geral de y_{p2}.

Passo 3

Encontrando y_{p1} tal que y_{p1}''=t^{3}.
Método prático: integrar duas vezes (isto é perfeitamente válido porque estamos só buscando UMA solução particular; constantes de integração serão absorvidas na solução homogênea).
Primeira integração:
y_{p1}'=\int t^{3}\,dt=\frac{t^{4}}{4}+C_{1}.
Segunda integração:
y_{p1}=\int\left(\frac{t^{4}}{4}+C_{1}\right)\,dt=\frac{t^{5}}{20}+C_{1}t+C_{2}.
Explicação: C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias; porém esses termos lineares/constantes pertencem à solução homogênea da equação y''=0 (veja que a homogênea tem y_{h}=C_{A}+C_{B}t). Como queremos apenas uma solução particular, podemos escolher C_{1}=C_{2}=0 (ou simplesmente ignorá-los, pois serão combinados com a solução homogênea). Assim, uma escolha conveniente e simples é
y_{p1}=\frac{t^{5}}{20}.
Isto é, esta é uma solução particular explícita para a parcela polinomial.

Passo 4

Agora achar a forma geral de y_{p2} tal que y_{p2}''=t^{3}\sin t.
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados (ansatz). É importante entender por que usar um ansatz com termos em \sin t e \cos t: ao derivar \sin t aparecem \cos t e vice-versa, portanto é necessário incluir ambos no ansatz para ter liberdade suficiente para satisfazer a equação depois de derivar duas vezes.
Regra prática: quando o lado direito é um polinômio de grau n multiplicado por \sin(\omega t) (ou \cos(\omega t)), um ansatz apropriado é
\big(\text{polinômio de grau }n\big)\sin(\omega t)+\big(\text{polinômio de grau }n\big)\cos(\omega t),ôô
com coeficientes indeterminados. Aqui \omega=1 e n=3.
Portanto tomamos o ansatz
y_{p2}=(a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0})\sin t+(b_{3}t^{3}+b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0})\cos t,
onde a_{k},b_{k} são constantes a determinar.

Passo 5

Verificação de ressonância (por que não precisamos multiplicar o ansatz por t ou por outra potência):
A solução homogênea da EDO y''=0 é y_{h}=C_{1}+C_{2}t. No método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos o ansatz por uma potência de t se \sin(\omega t) ou \cos(\omega t) corresponder a uma solução da equação homogênea (i.e., se r=\pm i\omega fosse raiz do polinômio característico). O polinômio característico aqui é r^{2}=0, cujas raízes são r=0 (multiplicidade 2). Como r=\pm i (que corresponderia a \sin t,\cos t) não é raiz do característico, não há ressonância com \sin t ou \cos t. Logo NÃO precisamos multiplicar o ansatz por nenhuma potência extra de t. O ansatz dado no Passo 4 já é a forma correta e suficiente.

Passo 6

Como se determinariam os coeficientes a_{k},b_{k} na prática (esquema, sem executar todos os cálculos longos):
  1. Calcular y_{p2}'' derivando duas vezes o ansatz do Passo 4. Ao derivar, lembrar das regras: \frac{d}{dt}\big(P(t)\sin t\big)=P'(t)\sin t+P(t)\cos t,
\frac{d}{dt}\big(Q(t)\cos t\big)=Q'(t)\cos t-Q(t)\sin t,
e repetir para a segunda derivada; P(t),Q(t) são polinômios.
2. Escrever y_{p2}'' na forma
y_{p2}'' = \big(\text{polinômio de grau 3}\big)\sin t + \big(\text{polinômio de grau 3}\big)\cos t.ôô
  1. Igualar y_{p2}'' ao termo dado t^{3}\sin t. Isso produz um sistema linear para os coeficientes a_{k},b_{k} obtido ao igualar coeficientes dos termos \sin t e \cos t de cada potência de t.
  2. Resolver esse sistema linear (8 incógnitas, esquema direto). Esse processo é mecânico embora um pouco trabalhoso; não precisamos executá-lo totalmente aqui porque a questão pediu a forma geral da solução particular, isto é, o ansatz correto.

Passo 7

Combinação final: a forma geral da solução particular da EDO original é a soma das partes encontradas:
y_{p}=y_{p1}+y_{p2}
com y_{p1} do Passo 3 e y_{p2} do Passo 4. Escrevendo explicitamente a forma geral (com constantes indeterminadas para a parte trigonométrica):
y_{p}=\frac{t^{5}}{20}+\big(a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\big)\sin t+\big(b_{3}t^{3}+b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0}\big)\cos t,
onde a_{k},b_{k} são constantes que seriam encontradas ao substituir este y_{p} em \,y''=t^{3}(1+\sin t)\, e igualar coeficientes.

Resposta

y_{p}=\frac{t^{5}}{20}+\big(a_{3}t^{3}+a_{2}t^{2}+a_{1}t+a_{0}\big)\sin t+\big(b_{3}t^{3}+b_{2}t^{2}+b_{1}t+b_{0}\big)\cos t

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