Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:
y \prime \prime=t^{3}(1+\sin (t))
y \prime \prime=t^{3}(1+\sin (t))
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a forma geral da solução particular. Informações relevantes: o lado direito é a soma de duas parcelas,
e
. Não há outras condições iniciais; só se quer a forma geral (ansatz) da solução particular.
Passo 2
Observação simples e útil: por linearidade do operador
(onde
é a derivada), uma solução particular para a soma do lado direito pode ser obtida como soma de soluções particulares para cada parcela separadamente. Ou seja, se
e
, então uma solução particular para a EDO inteira é
Vamos achar a forma geral de
e a forma geral de
.
Passo 3
Encontrando
tal que
.
Método prático: integrar duas vezes (isto é perfeitamente válido porque estamos só buscando UMA solução particular; constantes de integração serão absorvidas na solução homogênea).
Primeira integração:
Primeira integração:
Segunda integração:
Explicação:
e
são constantes arbitrárias; porém esses termos lineares/constantes pertencem à solução homogênea da equação
(veja que a homogênea tem
). Como queremos apenas uma solução particular, podemos escolher
(ou simplesmente ignorá-los, pois serão combinados com a solução homogênea). Assim, uma escolha conveniente e simples é
Isto é, esta é uma solução particular explícita para a parcela polinomial.
Passo 4
Agora achar a forma geral de
tal que
.
Vamos usar o método dos coeficientes indeterminados (ansatz). É importante entender por que usar um ansatz com termos em
e
: ao derivar
aparecem
e vice-versa, portanto é necessário incluir ambos no ansatz para ter liberdade suficiente para satisfazer a equação depois de derivar duas vezes.
Regra prática: quando o lado direito é um polinômio de grau
multiplicado por
(ou
), um ansatz apropriado é
com coeficientes indeterminados. Aqui
e
.
Portanto tomamos o ansatz
onde
são constantes a determinar.
Passo 5
Verificação de ressonância (por que não precisamos multiplicar o ansatz por
ou por outra potência):
A solução homogênea da EDO
é
. No método dos coeficientes indeterminados, multiplicamos o ansatz por uma potência de
se
ou
corresponder a uma solução da equação homogênea (i.e., se
fosse raiz do polinômio característico). O polinômio característico aqui é
, cujas raízes são
(multiplicidade 2). Como
(que corresponderia a
) não é raiz do característico, não há ressonância com
ou
. Logo NÃO precisamos multiplicar o ansatz por nenhuma potência extra de
. O ansatz dado no Passo 4 já é a forma correta e suficiente.
Passo 6
Como se determinariam os coeficientes
na prática (esquema, sem executar todos os cálculos longos):
- Calcular
derivando duas vezes o ansatz do Passo 4. Ao derivar, lembrar das regras:
e repetir para a segunda derivada;
são polinômios.
2. Escrever na forma
2. Escrever
- Igualar
ao termo dado . Isso produz um sistema linear para os coeficientes obtido ao igualar coeficientes dos termos e de cada potência de . - Resolver esse sistema linear (8 incógnitas, esquema direto). Esse processo é mecânico embora um pouco trabalhoso; não precisamos executá-lo totalmente aqui porque a questão pediu a forma geral da solução particular, isto é, o ansatz correto.
Passo 7
Combinação final: a forma geral da solução particular da EDO original é a soma das partes encontradas:
com
do Passo 3 e
do Passo 4. Escrevendo explicitamente a forma geral (com constantes indeterminadas para a parte trigonométrica):
onde
são constantes que seriam encontradas ao substituir este
em
e igualar coeficientes.