Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:
x \prime \prime+4 x=t^{2} \sin (2 t)+(6 t+7) \cos (2 t) .
x \prime \prime+4 x=t^{2} \sin (2 t)+(6 t+7) \cos (2 t) .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar a forma geral da solução particular de (essa) EDO. As informações relevantes são:
- A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
- O termo fonte (lado direito) é combinação de funções do tipo polinômio em
multiplicando e . - Não é pedido resolver os coeficientes numéricos da solução particular, apenas dar a forma geral (o “ansatz”) que devemos usar para aplicar o método das constantes indeterminadas.
Passo 2
Vamos olhar para a equação homogênea associada (só para ter a base de comparação):
A equação característica é
cuja solução é
. Isso implica que a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Explico o método que vamos usar: o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é propor uma forma para a solução particular
que seja uma combinação linear de funções do mesmo tipo do lado direito (polinômios, senos, cossenos, exponenciais), com coeficientes a determinar. Depois substituímos
na EDO e escolhemos os coeficientes para que a igualdade seja satisfeita. Esse método funciona bem quando o termo não homogêneo é soma de funções “simples” (polinômios, senos/cossenos, exponenciais).
Passo 4
Olhemos para os dois termos do lado direito separadamente:
-
: é um polinômio de grau 2 multiplicando . Se não houvesse ressonância, o ansatz natural para esse tipo seria um polinômio de grau 2 multiplicando e outro polinômio de grau 2 multiplicando (porque derivações trocam seno e cosseno). -
: é um polinômio de grau 1 multiplicando . Sem considerar ressonância, o ansatz natural para esse termo seria um polinômio de grau 1 multiplicando e outro polinômio de grau 1 multiplicando .
Como os dois termos têm a mesma frequência
(seno e cosseno de
), é conveniente unificarmos em um único ansatz que permita polinômios com grau suficiente para gerar ambos os termos pelo ajuste de coeficientes. Assim, antes de tratar ressonância, um ansatz não-resonante possível seria
porque precisamos pelo menos grau 2 para a parte em
(devido a
) e grau 1 para a parte em
(devido a
).
Passo 5
Agora verificamos ressonância: a solução homogênea
contém
e
. Quando o lado direito contém termos do tipo polinômio vezes
ou
com a mesma frequência que a homogênea, há ressonância de ordem
, onde
é a multiplicidade da raiz
na equação característica. Aqui a raiz
é simples (multiplicidade 1), então
. Pelo método dos coeficientes indeterminados, precisamos multiplicar o ansatz “básico” pelo fator
para que
não tenha termos já presentes em
(caso contrário os coeficientes livres seriam impossíveis de ajustar).
Passo 6
Multiplicando o ansatz prévio por
(devido à ressonância com
) obtemos a forma geral apropriada para a solução particular. Mantendo o grau necessário para cada parte (grau 2 para a parte ligada ao
e grau 1 para a parte ligada ao
), uma forma válida e mínima para a solução particular é
onde
são constantes indeterminadas que seriam encontradas substituindo
na EDO e igualando coeficientes (se a questão pedisse os valores numéricos desses coeficientes, faríamos essas contas).
Passo 7
Comentário final e dica prática para a prova: você poderia também escolher um ansatz mais simétrico, por exemplo usando polinômios de grau 2 para as duas componentes (com coeficientes extras que acabarão sendo zero se não necessários):
Isso aumenta o número de constantes a determinar, mas nunca prejudica — só dá mais contas. Na prova, prefira a forma minimalista da Passo 6 para economizar tempo.