Determine a forma geral da solução particular de cada uma das EDOs:

x \prime \prime+4 x=t^{2} \sin (2 t)+(6 t+7) \cos (2 t) .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x''+4x = t^{2}\sin(2t) + (6t+7)\cos(2t)
e pede: determinar a forma geral da solução particular de (essa) EDO. As informações relevantes são:
  1. A equação é linear, de segunda ordem, com coeficientes constantes.
  2. O termo fonte (lado direito) é combinação de funções do tipo polinômio em t multiplicando \sin(2t) e \cos(2t).
  3. Não é pedido resolver os coeficientes numéricos da solução particular, apenas dar a forma geral (o “ansatz”) que devemos usar para aplicar o método das constantes indeterminadas.

Passo 2

Vamos olhar para a equação homogênea associada (só para ter a base de comparação):
x''+4x=0.
A equação característica é
r^{2}+4=0,
cuja solução é r=\pm 2i. Isso implica que a solução geral da homogênea é
x_h(t)=C_{1}\cos(2t)+C_{2}\sin(2t),
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Explico o método que vamos usar: o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é propor uma forma para a solução particular x_p(t) que seja uma combinação linear de funções do mesmo tipo do lado direito (polinômios, senos, cossenos, exponenciais), com coeficientes a determinar. Depois substituímos x_p na EDO e escolhemos os coeficientes para que a igualdade seja satisfeita. Esse método funciona bem quando o termo não homogêneo é soma de funções “simples” (polinômios, senos/cossenos, exponenciais).

Passo 4

Olhemos para os dois termos do lado direito separadamente:
  1. t^{2}\sin(2t): é um polinômio de grau 2 multiplicando \sin(2t). Se não houvesse ressonância, o ansatz natural para esse tipo seria um polinômio de grau 2 multiplicando \sin(2t) e outro polinômio de grau 2 multiplicando \cos(2t) (porque derivações trocam seno e cosseno).
  2. (6t+7)\cos(2t): é um polinômio de grau 1 multiplicando \cos(2t). Sem considerar ressonância, o ansatz natural para esse termo seria um polinômio de grau 1 multiplicando \cos(2t) e outro polinômio de grau 1 multiplicando \sin(2t).
Como os dois termos têm a mesma frequência 2 (seno e cosseno de 2t), é conveniente unificarmos em um único ansatz que permita polinômios com grau suficiente para gerar ambos os termos pelo ajuste de coeficientes. Assim, antes de tratar ressonância, um ansatz não-resonante possível seria
x_{p,\text{pré}}(t) = (A_{2}t^{2}+A_{1}t+A_{0})\sin(2t) + (B_{1}t+B_{0})\cos(2t),é
porque precisamos pelo menos grau 2 para a parte em \sin(2t) (devido a t^{2}\sin(2t)) e grau 1 para a parte em \cos(2t) (devido a 6t+7).

Passo 5

Agora verificamos ressonância: a solução homogênea x_h contém \cos(2t) e \sin(2t). Quando o lado direito contém termos do tipo polinômio vezes \sin(2t) ou \cos(2t) com a mesma frequência que a homogênea, há ressonância de ordem s, onde s é a multiplicidade da raiz r=\pm 2i na equação característica. Aqui a raiz r=\pm 2i é simples (multiplicidade 1), então s=1. Pelo método dos coeficientes indeterminados, precisamos multiplicar o ansatz “básico” pelo fator t^{s}=t para que x_p não tenha termos já presentes em x_h (caso contrário os coeficientes livres seriam impossíveis de ajustar).

Passo 6

Multiplicando o ansatz prévio por t (devido à ressonância com s=1) obtemos a forma geral apropriada para a solução particular. Mantendo o grau necessário para cada parte (grau 2 para a parte ligada ao \sin(2t) e grau 1 para a parte ligada ao \cos(2t)), uma forma válida e mínima para a solução particular é
x_{p}(t)=t\Big((A_{2}t^{2}+A_{1}t+A_{0})\sin(2t)+(B_{1}t+B_{0})\cos(2t)\Big),
onde A_{2},A_{1},A_{0},B_{1},B_{0} são constantes indeterminadas que seriam encontradas substituindo x_p na EDO e igualando coeficientes (se a questão pedisse os valores numéricos desses coeficientes, faríamos essas contas).

Passo 7

Comentário final e dica prática para a prova: você poderia também escolher um ansatz mais simétrico, por exemplo usando polinômios de grau 2 para as duas componentes (com coeficientes extras que acabarão sendo zero se não necessários):
x_{p}(t)=t\Big((\tilde A_{2}t^{2}+\tilde A_{1}t+\tilde A_{0})\sin(2t)+(\tilde B_{2}t^{2}+\tilde B_{1}t+\tilde B_{0})\cos(2t)\Big).
Isso aumenta o número de constantes a determinar, mas nunca prejudica — só dá mais contas. Na prova, prefira a forma minimalista da Passo 6 para economizar tempo.

Resposta

x_{p}(t)=t\Big((A_{2}t^{2}+A_{1}t+A_{0})\sin(2t)+(B_{1}t+B_{0})\cos(2t)\Big)

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