Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
Passo 1
O enunciado pede que eu diga quais das EDOs listadas são lineares e determine a ordem de cada uma. A equação que vou analisar é
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A incógnita é a função
(dependendo de ); aparecem (a derivada segunda de ) e (a derivada primeira). - Há um termo
que envolve tanto a variável independente quanto a função de forma exponencial. - Preciso indicar (i) se a EDO é linear ou não e (ii) qual a sua ordem (isto é, o maior número de derivada que aparece).
Passo 2
O que significa uma EDO ser linear? Vou explicar de forma didática e sem pular etapas. Uma EDO de ordem
é linear se pode ser escrita na forma
onde:
-
é a derivada de ordem de ; - os coeficientes
dependem somente da variável independente (podem ser funções de , constantes, ou zero); - o termo do lado direito
também depende somente de ; - crucialmente, não aparecem termos que sejam funções não lineares de
ou de suas derivadas (por exemplo , , , , etc., tornam a EDO não linear).
Em resumo: linear = cada termo que envolveé proporcional a ou a alguma derivada de , com coeficientes que só dependem de .
Passo 3
Agora aplico essa definição à equação dada. A equação é
Observe o termo
. Ele é o produto de
(que é aceitável, pois é função de
) por
, mas
é uma função não linear de
. Para a equação ser linear, qualquer termo que envolva
deveria aparecer na forma
(ou seja, proporcional a
), ou como
. O termo
não pode ser escrito como
porque
não é igual a alguma função de
multiplicada por
(exceto em casos triviais que não valem aqui). Logo, há dependência não linear em
.
Passo 4
Conclusão sobre linearidade: por causa do termo
(função exponencial de
), a equação contém uma dependência não linear em
. Portanto a EDO
é uma EDO não linear.
Passo 5
Agora a ordem. Definição prática: a ordem de uma EDO é o maior número
tal que aparece
(derivada de ordem
) na equação. Na equação dada aparecem
(derivada segunda) e
(derivada primeira), e não aparecem derivadas de ordem maior que
. Portanto a ordem da EDO é
.
Passo 6
Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
- Exemplo de EDO linear de ordem 2:
. Aqui todos os termos que envolvem são proporcionais a ou suas derivadas, com coeficientes que só dependem de . - Exemplo de EDO não linear:
(o termo torna não linear), ou a própria dada .