Diga quais das EDOs abaixo são lineares e determine sua ordem:
\displaystyle x \prime \prime+2 x \prime+t e^{x}=0 .

Passo 1

O enunciado pede que eu diga quais das EDOs listadas são lineares e determine a ordem de cada uma. A equação que vou analisar é
x'' + 2x' + t e^{x} = 0.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A incógnita é a função x (dependendo de t); aparecem x'' (a derivada segunda de x) e x' (a derivada primeira).
  • Há um termo t e^{x} que envolve tanto a variável independente t quanto a função x de forma exponencial.
  • Preciso indicar (i) se a EDO é linear ou não e (ii) qual a sua ordem (isto é, o maior número de derivada que aparece).

Passo 2

O que significa uma EDO ser linear? Vou explicar de forma didática e sem pular etapas. Uma EDO de ordem n é linear se pode ser escrita na forma
a_n(t)\,x^{(n)} + a_{n-1}(t)\,x^{(n-1)} + \cdots + a_1(t)\,x' + a_0(t)\,x = g(t),
onde:
  • x^{(k)} é a derivada de ordem k de x;
  • os coeficientes a_k(t) dependem somente da variável independente t (podem ser funções de t, constantes, ou zero);
  • o termo do lado direito g(t) também depende somente de t;
  • crucialmente, não aparecem termos que sejam funções não lineares de x ou de suas derivadas (por exemplo x^2, e^{x}, \sin(x), x x', etc., tornam a EDO não linear).
    Em resumo: linear = cada termo que envolve x é proporcional a x ou a alguma derivada de x, com coeficientes que só dependem de t.

Passo 3

Agora aplico essa definição à equação dada. A equação é
x'' + 2x' + t e^{x} = 0.
Observe o termo t e^{x}. Ele é o produto de t (que é aceitável, pois é função de t) por e^{x}, mas e^{x} é uma função não linear de x. Para a equação ser linear, qualquer termo que envolva x deveria aparecer na forma a_0(t)\,x (ou seja, proporcional a x), ou como a_k(t)\,x^{(k)}. O termo t e^{x} não pode ser escrito como a_0(t)\,x porque e^{x} não é igual a alguma função de t multiplicada por x (exceto em casos triviais que não valem aqui). Logo, há dependência não linear em x.

Passo 4

Conclusão sobre linearidade: por causa do termo e^{x} (função exponencial de x), a equação contém uma dependência não linear em x. Portanto a EDO
x'' + 2x' + t e^{x} = 0
é uma EDO não linear.

Passo 5

Agora a ordem. Definição prática: a ordem de uma EDO é o maior número k tal que aparece x^{(k)} (derivada de ordem k) na equação. Na equação dada aparecem x'' (derivada segunda) e x' (derivada primeira), e não aparecem derivadas de ordem maior que 2. Portanto a ordem da EDO é 2.

Passo 6

Para fixar a ideia com exemplos rápidos:
  • Exemplo de EDO linear de ordem 2: \;x'' + 2x' + t x = 0. Aqui todos os termos que envolvem x são proporcionais a x ou suas derivadas, com coeficientes que só dependem de t.
  • Exemplo de EDO não linear: \;x'' + 2x' + x^2 = 0 (o termo x^2 torna não linear), ou a própria dada \;x'' + 2x' + t e^{x} = 0.

Resposta

\;x'' + 2x' + t e^{x} = 0 é não linear e de ordem 2.

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