Determine a forma polar para z w, \frac{z}{w} e \frac{1}{z} colocando primeiro z e w na forma polar. z=4(\sqrt{3}+i), \quad w=-3+3 i
Passo 1
O enunciado dá os complexos
z=4(\sqrt{3}+i),\qquad w=-3+3i
e pede que eu coloque z e w na forma polar e, a partir disso, determine a forma polar de z w, \dfrac{z}{w} e \dfrac{1}{z}. Vou listar os dados úteis extraídos:
Para z: parte real \operatorname{Re}(z)=4\sqrt{3} e parte imaginária \operatorname{Im}(z)=4.
Para w: parte real \operatorname{Re}(w)=-3 e parte imaginária \operatorname{Im}(w)=3.
As tarefas são, em ordem: (i) achar |z| e \arg(z) e escrever z em forma polar; (ii) fazer o mesmo para w; (iii) usar essas formas para obter z w, \dfrac{z}{w} e \dfrac{1}{z}.
Passo 2
Lembrete rápido (fórmulas e ideia): para um número complexo a+ib a forma polar é r(\cos\theta+i\sin\theta) com
onde \operatorname{atan2}(b,a) é o arco cuja tangente é b/a ajustado conforme o quadrante (é isso que evita erro de sinal). Também vale a forma exponencial r e^{i\theta}. As regras úteis para operações:
Produto: |z w|=|z|\,|w| e \arg(z w)=\arg(z)+\arg(w).
Quociente: \left|\dfrac{z}{w}\right|=\dfrac{|z|}{|w|} e \arg\!\left(\dfrac{z}{w}\right)=\arg(z)-\arg(w).
Recíproco: \left|\dfrac{1}{z}\right|=\dfrac{1}{|z|} e \arg\!\left(\dfrac{1}{z}\right)=-\arg(z).
Passo 3
Converter z. Aqui a=4\sqrt{3} e b=4. Calculo do módulo:
Checagem rápida (sanity check): multiplicando z por \dfrac{1}{z} nos módulos dá 8\cdot\dfrac{1}{8}=1 e nos argumentos \dfrac{\pi}{6}+(-\dfrac{\pi}{6})=0, ou seja o produto é 1, como esperado.
Resposta
z=8\bigl(\cos\frac{\pi}{6}+i\sin\frac{\pi}{6}\bigr)=8e^{i\pi/6}\n w=3\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\bigr)=3\sqrt{2}\,e^{i3\pi/4}\n z w=24\sqrt{2}\bigl(\cos\frac{11\pi}{12}+i\sin\frac{11\pi}{12}\bigr)=24\sqrt{2}\,e^{i11\pi/12}\n \dfrac{z}{w}=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{7\pi}{12}\bigr)\bigr)=\dfrac{4\sqrt{2}}{3}\,e^{-i7\pi/12}\n \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{8}\bigl(\cos\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)+i\sin\bigl(-\tfrac{\pi}{6}\bigr)\bigr)=\dfrac{1}{8}\,e^{-i\pi/6}