Escreva o número na forma
.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- É dada a expressão
. - Pede-se escrever esse número na forma
, ou seja, encontrar os números reais e tais que o número complexo seja . - Informação útil:
é a base dos logaritmos naturais e é a unidade imaginária, com .
Passo 2
Usar a propriedade do exponencial: para quaisquer números complexos
e
vale
Explicação breve (intuição): a função exponencial é definida pela série
, que converge para
complexo; essa série leva à propriedade multiplicativa acima por meio do produto de séries (produto de Cauchy). Aplicando com
e
obtém-se
Passo 3
Usar a fórmula de Euler: para todo real
,
Por que isso é verdade (resumo didático): escrevendo a série de
e separando termos pares e ímpares,
onde as somas são exatamente as séries de
e
.
Passo 4
Aplicando Euler com
temos
Passo 5
Calcular
e
:
- Na circunferência unitária, o ângulo
(180 graus) corresponde ao ponto , portanto e .
Logo
Passo 6
Retornando à expressão original:
Escrevendo na forma
isso é
Observação: o número é puramente real e negativo (parte imaginária nula).