Escreva o número na forma a+b i.
e^{2+\pi i}

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • É dada a expressão e^{2+\pi i}.
  • Pede-se escrever esse número na forma a+b\,i, ou seja, encontrar os números reais a e b tais que o número complexo seja a+b\,i.
  • Informação útil: e é a base dos logaritmos naturais e i é a unidade imaginária, com i^{2}=-1.

Passo 2

Usar a propriedade do exponencial: para quaisquer números complexos z e w vale
e^{z+w}=e^{z}\,e^{w}.
Explicação breve (intuição): a função exponencial é definida pela série \displaystyle e^{u}=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{u^{n}}{n!}, que converge para u complexo; essa série leva à propriedade multiplicativa acima por meio do produto de séries (produto de Cauchy). Aplicando com z=2 e w=\pi i obtém-se
e^{2+\pi i}=e^{2}\,e^{\pi i}.

Passo 3

Usar a fórmula de Euler: para todo real \theta,
e^{i\theta}=\cos\theta + i\sin\theta.
Por que isso é verdade (resumo didático): escrevendo a série de e^{i\theta} e separando termos pares e ímpares,
e^{i\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(i\theta)^{n}}{n!} =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k}}{(2k)!} + i\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\theta^{2k+1}}{(2k+1)!} =\cos\theta + i\sin\theta,
onde as somas são exatamente as séries de \cos\theta e \sin\theta.

Passo 4

Aplicando Euler com \theta=\pi temos
e^{\pi i}=\cos\pi + i\sin\pi.

Passo 5

Calcular \cos\pi e \sin\pi:
  • Na circunferência unitária, o ângulo \pi (180 graus) corresponde ao ponto (-1,0), portanto \cos\pi=-1 e \sin\pi=0.
    Logo
e^{\pi i}=-1 + i\cdot 0 = -1.

Passo 6

Retornando à expressão original:
e^{2+\pi i}=e^{2}\,e^{\pi i}=e^{2}\cdot(-1)=-e^{2}.
Escrevendo na forma a+b\,i isso é
-e^{2}+0\,i.
Observação: o número é puramente real e negativo (parte imaginária nula).

Resposta

-e^{2}+0\,i

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