Determine a forma polar das seguintes equações cartesianas:
4 y=x^2-4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa transformar a equação cartesiana x = r cos(theta) e y = r sin(theta) para a forma polar. Isso envolve usar as relações entre coordenadas cartesianas e polares . Para isso, vamos precisar lembrar que:
Essas fórmulas nos permitem converter qualquer equação de uma forma para a outra.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir 4y = x^2 - 4 Rightarrow 4(r sin(theta)) = (r cos(theta))^2 - 4 e 4r sin(theta) = r^2 cos^2(theta) - 4 na equação original pelas expressões em termos de e :
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos reorganizar essa equação para isolar os termos com r^2 cos^2(theta) - 4r sin(theta) - 4 = 0 de um lado:
Isso é uma equação quadrática em termos de , onde estamos tentando expressar em função de .

Passo 4

Para resolver essa equação quadrática para ar^2 + br + c = 0 , podemos usar a fórmula de Bhaskara. A equação quadrática geral é:
a = cos^2(theta), b = -4 sin(theta), c = -4
Comparando com nossa equação:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aplicando a fórmula de Bhaskara:

Passo 5

Substituindo os valores de r = 4 sin(theta) pm raiz( -4 sin(theta))^2 - 4 cos^2(theta) (-4)2 cos^2(theta) , ( -4 sin(theta))^2 = 16 sin^2(theta) e -4 cos^2(theta) (-4) = 16 cos^2(theta) na fórmula:
r = 4 sin(theta) pm raiz16 sin^2(theta) + 16 cos^2(theta)2 cos^2(theta)
Calculando dentro da raiz:
Então:

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da raiz:
16 sin^2(theta) + 16 cos^2(theta) = 16 (sin^2(theta) + cos^2(theta)) = 16 cdot 1 = 16
Portanto:
r = 4 sin(theta) pm raiz162 cos^2(theta) = 4 sin(theta) pm 42 cos^2(theta)

Passo 7

Vamos simplificar mais essa expressão dividindo o numerador e denominador por 2:
r = 2 sin(theta) pm 2cos^2(theta) = 2 (sin(theta) pm 1)cos^2(theta)
Podemos fatorar o 2:
r = 2 cdot sin(theta) pm 1cos^2(theta)

Resposta

A forma polar da equação cartesiana r = 2 (sin(theta) pm 1)cos^2(theta) é:

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