Determine o valor das seguintes séries
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular o valor da série infinita:
Isso envolve conceitos de séries infinitas e, especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como funciona a expansão em série de funções trigonométricas, como o cosseno.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série que temos. Observe que cada termo da série é da forma:
Podemos reescrever esse termo destacando o
:
Então, nossa série fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da expansão em série do cosseno. A série de Taylor para o cosseno de
é dada por:
Comparando com a série que temos, percebemos que nossos termos se assemelham à expansão do cosseno, onde
corresponde a
.
Passo 4
Para ajustar nossa série à forma da série do cosseno, vamos identificar
tal que:
Então, podemos reescrever a série como:
Passo 5
Sabemos que:
Substituindo isso na expressão, temos:
Resposta
O valor da série é
.