Determine o valor das seguintes séries
sumn=0^infty (-1)^n pi^2 n+19^n(2 n)!.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular o valor da série infinita:
sumn=0^infty (-1)^n pi^2n+19^n(2n)!
Isso envolve conceitos de séries infinitas e, especificamente, séries de potências. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de como funciona a expansão em série de funções trigonométricas, como o cosseno.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada geral na série que temos. Observe que cada termo da série é da forma:
(-1)^n pi^2n+19^n(2n)!
Podemos reescrever esse termo destacando o pi:
pi cdot (-1)^n (pi^2)^n9^n(2n)! = pi cdot (-1)^n (pi^2/9)^n(2n)!
Então, nossa série fica:
pi sumn=0^infty (-1)^n (pi^2/9)^n(2n)!

Passo 3

Agora, vamos lembrar da expansão em série do cosseno. A série de Taylor para o cosseno de x é dada por:
cos(x) = sumn=0^infty (-1)^n x^2n(2n)!
Comparando com a série que temos, percebemos que nossos termos se assemelham à expansão do cosseno, onde x^2n corresponde a (pi^2/9)^n.

Passo 4

Para ajustar nossa série à forma da série do cosseno, vamos identificar x tal que:
x^2n = (pi^29)^n Rightarrow x^2 = pi^29 Rightarrow x = pi3
Então, podemos reescrever a série como:
pi sumn=0^infty (-1)^n (pi3)^2n(2n)! = pi cos(pi3)

Passo 5

Sabemos que:
cos(pi3) = 12
Substituindo isso na expressão, temos:
pi cdot 12 = pi2

Resposta

O valor da série é dfracpi2.

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