Calcule a área da parte da superfície esférica x^2+y^2+z^2=1 que se encontra dentro do cone z >= raizx^2+y^2

Passo 1

No primeiro passo, vamos resumir o que o exercício pede: temos a esfera unitária dada por x^2+y^2+z^2=1 e queremos a área da porção dessa esfera que fica dentro do cone z>=raizx^2+y^2. O conteúdo principal envolve coordenadas esféricas e cálculo de área de superfície.

Passo 2

Para usar coordenadas esféricas, definimos
x=sinphicostheta, y=sinphisintheta, z=cosphi,
onde 0<=phi<=pi e 0<=theta<2pi. A condição do cone z>=raizx^2+y^2 vira
cosphi>=sinphiLongrightarrowtanphi<=1Longrightarrow0<=phi<=pi4
Assim o nosso domínio é phi de 0 a pi/4 e theta de 0 a 2pi.

Passo 3

Sabendo que o elemento de área de uma esfera de raio 1 em coordenadas esféricas é
dS=sinphi,dphi,dtheta,
podemos montar a integral dupla para a área desejada:

Passo 4

Calculamos
Área= integraltheta=0^2piintegralphi=0^pi/4sinphi,dphi,dtheta =integral0^2pil[-cosphir]0^pi/4dtheta =integral0^2pil(1-cos(tfracpi4)r)dtheta =2pil(1-tfracraiz22r) =pi(2-raiz2) Á

Resposta

pi(2-raiz2)

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