Determine o valor das seguintes séries
.
Passo 1
Vamos determinar o valor da série infinita
. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e funções exponenciais. Precisaremos lembrar de algumas propriedades das séries envolvendo fatoriais e da função
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a série
é igual a
. Essa é a série de Taylor da função exponencial. Para
, temos:
Passo 3
Agora, para trazer o termo
para dentro da série, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
:
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por
para ajustar os índices:
Passo 4
Para trazer o termo
para a série original, vamos derivar novamente ambos os lados da última equação em relação a
:
Isso dá:
Multiplicando novamente por
:
Passo 5
Agora, substituímos
para encontrar o valor da série original:
Resposta
O valor da série é
.