Determine o valor das seguintes séries
sumn=1^infty n^2n!.

Passo 1

Vamos determinar o valor da série infinita . Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e funções exponenciais. Precisaremos lembrar de algumas propriedades das séries envolvendo fatoriais e da função .

Passo 2

Primeiro, lembramos que a série sumn=0^infty 1^nn! = e é igual a . Essa é a série de Taylor da função exponencial. Para , temos:

Passo 3

Agora, para trazer o termo ddx(sumn=0^infty x^nn!) = ddx(e^x) para dentro da série, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a sumn=0^infty n x^n-1n! = e^x :
sumn=0^infty n x^nn! = x e^x
Isso resulta em:
Multiplicando ambos os lados por para ajustar os índices:

Passo 4

Para trazer o termo ddx(sumn=0^infty n x^nn!) = ddx(x e^x) para a série original, vamos derivar novamente ambos os lados da última equação em relação a sumn=0^infty n^2 x^n-1n! = e^x + x e^x :
sumn=0^infty n^2 x^nn! = x e^x + x^2 e^x = e^x(x + x^2)
Isso dá:
Multiplicando novamente por :

Passo 5

Agora, substituímos sumn=0^infty n^2n! = e^1(1 + 1^2) = e(1 + 1) = 2e para encontrar o valor da série original:

Resposta

O valor da série é .

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