Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z colocando primeiro z e w na forma polar.
z=4(raiz3+i), w=-3-3 i

Passo 1

O enunciado pede para colocar primeiro os complexos z e w em forma polar e depois calcular z w, z/w e 1/z também em forma polar. Vamos usar teoria básica de números complexos: conversão retangular→polar e regras de produto, quociente e inverso em forma polar.

Passo 2

Temos z = 4(raiz3+i)=4raiz3+4i. O módulo é
rz=raiz(4raiz3)^2+4^2=raiz48+16=8,
e o argumento é
phiz=arctanl(44raiz3r)=arctan1raiz3=pi6Logo
z=8l(costfracpi6+isintfracpi6r)

Passo 3

Para w=-3-3i, o módulo é
rw=raiz(-3)^2+(-3)^2=3raiz2,
e o argumento, considerando o segundo quadrante negativo em ambos, é
phiw=arctan!l(1r)-pi=-tfrac3pi4Então
w=3raiz2l(cos(-tfrac3pi4)+isin(-tfrac3pi4)r)

Passo 4

Para o produto em forma polar usamos |zw|=|z|,|w| e arg(zw)=arg z+arg w. Assim
|zw|=8cdot3raiz2=24raiz2,arg(zw)=tfracpi6+l(-tfrac3pi4r)=-tfrac7pi12

Passo 5

Para o quociente usamos |z/w|=|z|/|w| e arg(z/w)=arg z-arg w. Então
|z/w|=83raiz2=4raiz23,arg(z/w)=tfracpi6-l(-tfrac3pi4r)=tfrac11pi12

Passo 6

Finalmente, o inverso usa |1/z|=1/|z| e arg(1/z)=-arg z, logo
|1/z|=18,arg(1/z)=-tfracpi6

Resposta

[\nz = 8(\cos\tfrac{\pi}{6}+i\sin\tfrac{\pi}{6}), \quad w = 3\sqrt{2}(\cos(-\tfrac{3\pi}{4})+i\sin(-\tfrac{3\pi}{4}))\\nzw = 24\sqrt{2}(\cos(-\tfrac{7\pi}{12})+i\sin(-\tfrac{7\pi}{12}))\\n\frac{z}{w} = \frac{4\sqrt{2}}{3}(\cos\tfrac{11\pi}{12}+i\sin\tfrac{11\pi}{12})\\n\frac{1}{z} = \frac{1}{8}(\cos(-\tfrac{\pi}{6})+i\sin(-\tfrac{\pi}{6}))]

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