Determine as raízes indicadas. Represente as raízes no plano complexo.
As raízes oitavas de 1.
As raízes oitavas de 1.
Passo 1
O problema pede para encontrar todas as raízes oitavas de 1, ou seja, todos os números complexos z tais que z⁸ = 1, representando-os no plano complexo. Vamos aplicar teoria de números complexos e raízes de unidade.
Passo 2
Para extrair raízes de um número complexo, usamos sua forma polar. Qualquer número complexo w pode ser escrito como
polar:
polar:
possuindo módulo r ≥ 0 e argumento θ. A fórmula geral para as n-ésimas raízes de w é
Passo 3
No nosso caso w = 1 tem módulo r = 1 e argumento θ = 0 (ou 2πm, mas isso só adiciona múltiplos inteiros de 2π). Substituindo n = 8 obtemos
Passo 4
Vamos listar explicitamente cada raiz:
- Para k = 0: z₀ = cos(0) + i sin(0) = 1
- Para k = 1: z₁ = cos(π/4) + i sin(π/4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
- Para k = 2: z₂ = cos(π/2) + i sin(π/2) = i
- Para k = 3: z₃ = cos(3π/4) + i sin(3π/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
- Para k = 4: z₄ = cos(π) + i sin(π) = -1
- Para k = 5: z₅ = cos(5π/4) + i sin(5π/4) = -\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
- Para k = 6: z₆ = cos(3π/2) + i sin(3π/2) = -i
- Para k = 7: z₇ = cos(7π/4) + i sin(7π/4) = \tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
Passo 5
Geometricamente, essas raízes são os vértices de um octógono regular inscrito no círculo unitário do plano complexo, igualmente espaçados a cada 45° (π/4 rad).
Resposta
As raízes oitavas de 1 são
{
1,
\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
i,
-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
-1,
-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
-i,
\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
}
1,
\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
i,
-\tfrac{\sqrt{2}}{2} + i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
-1,
-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2},
-i,
\tfrac{\sqrt{2}}{2} - i\tfrac{\sqrt{2}}{2}
}