Determine a forma polar para z w, z / w e 1 / z colocando primeiro z e w na forma polar.
z=4 raiz3-4 i, w=8 i

Passo 1

O exercício pede para converter os números complexos z e w em forma polar e, em seguida, calcular z·w, z/w e 1/z em forma polar. O conteúdo é números complexos na representação ρ e^{iθ}, usando módulo e argumento e operações de produto, quociente e inverso.

Passo 2

Para converter um complexo z = x + iy em forma polar usamos o módulo ρ = raizx^2 + y^2 e o argumento θ = arctan(y/x), ajustando conforme o quadrante.

Passo 3

Calculando para z = 4raiz3 - 4i: o módulo é
ρz = raiz(4raiz3)^2 + (-4)^2 = raiz48 + 16 = 8
O argumento é
θz = arctanl(-44raiz3r) = arctanl(-1raiz3r) = -π6,
que fica no quarto quadrante (x>0, y<0). Logo,
z = 8 e^-iπ/6

Passo 4

Para w = 8i: o módulo é ρw = 8 e o argumento está no eixo imaginário positivo,
θw = π2
Portanto,
w = 8 e^iπ/2

Passo 5

Para o produto z·w em forma polar multiplicamos módulos e somamos argumentos. Assim,
ρzw = 8 cdot 8 = 64,
θzw = -π6 + π2 = π3
Logo,
z·w = 64 e^iπ/3

Passo 6

Para o quociente z/w em forma polar dividimos módulos e subtraímos argumentos. Assim,
ρz/w = 88 = 1,
θz/w = -π6 - π2 = -2π3
Portanto,
zw = e^-i2π/3

Passo 7

Para o inverso 1/z em forma polar invertemos o módulo e trocamos o sinal do argumento. Logo,
ρ1/z = 18,
θ1/z = -l(-π6r) = π6
Então,
1z = 18 e^iπ/6

Resposta

As formas polares são:
z = 8 e^{-iπ/6}, w = 8 e^{iπ/2},
z·w = 64 e^{iπ/3},
z/w = e^{-i2π/3},
1/z = \frac{1}{8} e^{iπ/6}.

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