Determine a equação da reta que passa pelo ponto P(1,2,3) e é perpendicular ao plano \pi: 2 x-y+z= 4.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que passa pelo ponto P(1,2,3) e é perpendicular ao plano
\pi:2x - y + z = 4.
O conteúdo envolvido é geometria analítica no espaço: para obter a reta precisamos de um ponto e de um vetor diretor. Sabendo que uma reta perpendicular a um plano tem vetor diretor paralelo ao vetor normal do plano, vamos extrair esse vetor normal da equação de \pi.

Passo 2

A equação do plano está dada por
2x - y + z = 4
ou seja,
2x - y + z - 4 = 0.
Dessa forma, o vetor normal ao plano é
\mathbf{n} = (2,\,-1,\,1).

Passo 3

Como a reta é perpendicular ao plano, seu vetor diretor \mathbf{v} coincide com \mathbf{n}. Logo,
\mathbf{v} = (2,\,-1,\,1).
Usando o ponto P(1,2,3) e o vetor diretor \mathbf{v}, a forma paramétrica da reta é
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\\ y = 2 - t,\\\ z = 3 + t, \end{cases} \quad t\in\mathbb{R}.
Transformando em forma simétrica, obtemos
\frac{x-1}{2} \;=\;\frac{y-2}{-1}\;=\;\frac{z-3}{1}.

Resposta

\frac{x-1}{2} \;=\;\frac{y-2}{-1}\;=\;\frac{z-3}{1}.

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