Determine o parâmetro m de forma que as retas (m+1) x-2 y+1=0 e 2 x+(5-m) y-1=0 sejam perpendiculares. Faça o gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor do parâmetro m de modo que as retas
(m+1)x - 2y + 1 = 0
e
2x + (5-m)y - 1 = 0
sejam perpendiculares, e depois desenhar o gráfico delas. O conteúdo é geometria analítica: vamos passar cada reta para a forma reduzida y = mreta x + b, determinar seus coeficientes angulares m1 e m2 e usar a condição de perpendicularidade
m1 cdot m2 = -1

Passo 2

Passamos cada reta para a forma y = mreta x + b.
Para a primeira reta:
(m+1)x - 2y + 1 = 0 Longrightarrow 2y = (m+1)x + 1 Longrightarrow y = m+12,x + 12,
logo seu coeficiente angular é
m1 = m+12
Para a segunda reta:
2x + (5-m)y - 1 = 0 Longrightarrow (5-m)y = -2x + 1 Longrightarrow y = -25-m,x + 15-m,
logo seu coeficiente angular é
m2 = -25-m

Passo 3

Impondo a condição de perpendicularidade m1cdot m2 = -1, temos
m+12;cdot;l(-25-mr) = -1 Longrightarrow -m+15-m = -1 Longrightarrow m+15-m = 1 Longrightarrow m+1 = 5 - m Longrightarrow 2m = 4 Longrightarrow m = 2

Passo 4

Substituindo m=2 nas equações originais, obtemos:
Primeira reta ( L1):
(2+1)x - 2y + 1 = 0 ;Longrightarrow; 3x - 2y + 1 = 0 ;Longrightarrow; y = 32x + 12,
com interceptos em x=0implies y=tfrac12 e y=0implies x=-tfrac13.
Segunda reta ( L2):
2x + (5-2)y - 1 = 0 ;Longrightarrow; 2x + 3y - 1 = 0 ;Longrightarrow; y = -23 x + 13,
com interceptos em x=0implies y=tfrac13 e y=0implies x=tfrac12.

Passo 5

Para esboçar o gráfico no plano xy:
– Desenhe o eixo x horizontal e o eixo y vertical.
– Marque em L1 os pontos l(-tfrac13,0r) e l(0,tfrac12r) e trace a reta de inclinação positiva 3/2.
– Marque em L2 os pontos l(0,tfrac13r) e l(tfrac12,0r) e trace a reta de inclinação negativa -2/3.
O encontro dessas duas retas forma um ângulo reto, confirmando a perpendicularidade.

Resposta

m = 2

Exercícios relacionados