Usando as regras de derivação e derivadas já estudadas. Mostre que:
Cosec^prime(x)=-Cosec(x) cdot Cotg(x)

Passo 1

O enunciado pede para derivar Cosec(x)=csc(x) e mostrar que csc'(x)=-csc(x)cot(x). Vamos usar regra da derivada de recíproco e derivada de sin(x).

Passo 2

Escrevendo csc(x) como recíproco de sin(x): seja u(x)=sin(x), então csc(x)=u(x)^-1. Pela regra de derivada de um recíproco temos:
(u^-1)'= -u'u^2

Passo 3

Aplicando ao nosso caso: u'(x)=cos(x) e u(x)=sin(x). Logo
csc'(x) = -cos(x)sin^2(x)

Passo 4

Reconhecendo as funções trigonométricas: cos(x)sin^2(x) = cos(x)sin(x) cdot 1sin(x) = cot(x)csc(x) Portanto
csc'(x) = -csc(x)cot(x)

Resposta

csc'(x)=-csc(x)cdotcot(x)

Exercícios relacionados