Determine a forma de uma solução particular de
para
dada, se a solução da equação homogênea associada
for
.
Passo 1
O enunciado pede a forma de uma solução particular para L(x)=φ(t) onde a equação homogênea tem soluções x_h = c₁ + c₂ eᵗ + c₃ t eᵗ. Isso indica que L é um operador linear de terceira ordem com raízes r=0 e r=1 (multiplicidade 2), e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
O polinômio característico associado às raízes r=0 e r=1 (dupla) é p®=r(r−1)²=r³−2r²+r. Logo o operador diferencial é L = D³ − 2D² + D.
Passo 3
Como φ(t)=−6eᵗ e eᵗ aparece na solução complementar com multiplicidade 2 (eᵗ e t
eᵗ), multiplicamos por t² nossa proposta de solução particular. Assim, fazemos a tentativa y_p = A
t²
eᵗ.
eᵗ), multiplicamos por t² nossa proposta de solução particular. Assim, fazemos a tentativa y_p = A
t²
eᵗ.
Passo 4
Calculamos as derivadas de y_p:
Passo 5
Aplicando o operador L em y_p e igualando a φ(t) obtemos:
Como isso deve ser igual a −6eᵗ, vem 2A = −6, ou seja, A = −3.
Resposta
A solução particular é
.