Determine a forma de uma solução particular de L(x)=phi(t) para phi(t) dada, se a solução da equação homogênea associada L(x)=0 for xh=c1+c2e^t+c3te^t.
phi(t) = -6e^t

Passo 1

O enunciado pede a forma de uma solução particular para L(x)=φ(t) onde a equação homogênea tem soluções x_h = c₁ + c₂ eᵗ + c₃ t eᵗ. Isso indica que L é um operador linear de terceira ordem com raízes r=0 e r=1 (multiplicidade 2), e vamos usar o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

O polinômio característico associado às raízes r=0 e r=1 (dupla) é p®=r(r−1)²=r³−2r²+r. Logo o operador diferencial é L = D³ − 2D² + D.

Passo 3

Como φ(t)=−6eᵗ e eᵗ aparece na solução complementar com multiplicidade 2 (eᵗ e t
eᵗ), multiplicamos por t² nossa proposta de solução particular. Assim, fazemos a tentativa y_p = A

eᵗ.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
yp' = A e^t(t^2 + 2t),
yp'' = A e^t(t^2 + 4t + 2),
yp''' = A e^t(t^2 + 6t + 6)

Passo 5

Aplicando o operador L em y_p e igualando a φ(t) obtemos:
L(yp) = yp''' - 2yp'' + yp' = A e^t igl[(t^2+6t+6) - 2(t^2+4t+2) + (t^2+2t)r] = 2A e^t
Como isso deve ser igual a −6eᵗ, vem 2A = −6, ou seja, A = −3.

Resposta

A solução particular é yp = -3 t^2 e^t.

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