Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Cauchy-Euler:
t^2 y^prime prime+t y^prime-y=0
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Passo 1

O exercício pede o Wronskiano de duas soluções da equação de Cauchy–Euler t^2y'' + ty' - y = 0. O conteúdo aqui é equação de Euler e Wronskiano de duas soluções lineares independentes.

Passo 2

Para equações de Euler, a gente assume y = t^r e obtém a equação característica substituindo na equação dada: r(r–1) + 1·r – 1 = 0, isto é,
r(r-1) + r - 1 = r^2 - 1 = 0
Logo, as raízes são r = 1 e r = -1.

Passo 3

As duas soluções fundamentais são então y1 = t e y2 = t^-1.

Passo 4

Para calcular o Wronskiano, usamos
W(t) = y1 & y2y1' & y2' = y1,y2' - y2,y1'
Aqui y1' = 1 e y2' = -t^-2, portanto
Isso mostra que o Wronskiano tem a forma de uma constante sobre W(t) = t cdot (-t^-2) - t^-1cdot 1 = -tfrac1t - tfrac1t = -tfrac2t.

Resposta

O Wronskiano é dado por W(t) = -tfrac2t, isto é, tem a forma geral W(t)=C/t.

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