Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial de Cauchy-Euler:
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Passo 1
O exercício pede o Wronskiano de duas soluções da equação de Cauchy–Euler . O conteúdo aqui é equação de Euler e Wronskiano de duas soluções lineares independentes.
Passo 2
Para equações de Euler, a gente assume e obtém a equação característica substituindo na equação dada: r(r–1) + 1·r – 1 = 0, isto é,
Logo, as raízes são e .
Passo 3
As duas soluções fundamentais são então e .
Passo 4
Para calcular o Wronskiano, usamos
Aqui y1' = 1 e y2' = -t^-2, portanto
Isso mostra que o Wronskiano tem a forma de uma constante sobre W(t) = t cdot (-t^-2) - t^-1cdot 1 = -tfrac1t - tfrac1t = -tfrac2t.
Resposta
O Wronskiano é dado por W(t) = -tfrac2t, isto é, tem a forma geral W(t)=C/t.