Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
2 cos (A+C)=sen(A)+sen(C)

Passo 1

O enunciado trata de um triângulo ABC cujos lados a, b e c estão em progressão aritmética e são opostos, respectivamente, aos ângulos A, B e C. Precisamos achar uma relação trigonométrica entre A, B, C

Passo 2

Pela Lei dos Senos sabemos que os lados são proporcionais aos senos dos ângulos:
a = 2Rsin A, b = 2Rsin B, c = 2Rsin C
onde R é o raio do círculo circunscrito.

Passo 3

Como a, b, c formam uma progressão aritmética, vale
2b = a + c
Substituindo pela Lei dos Senos:
2,(2Rsin B) = 2Rsin A + 2Rsin C Longrightarrow 2sin B = sin A + sin C

Passo 4

Acabamos de obter a relação trigonométrica que liga os ângulos do triângulo.

Resposta

2 \sin B = \sin A + \sin C

Exercícios relacionados