Seja um triângulo ABC com lados a, b e c opostos aos ângulos A, B e C, respectivamente. Os lados a, b e c formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
2 sen(A+C)=sen(A)+sen(C)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo ABC onde os lados $ a $, $ b $ e $ c $ estão em progressão aritmética nessa ordem. A gente precisa descobrir uma relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos desse triângulo. Pra isso, vamos usar conceitos de trigonometria de triângulos, especificamente a Lei dos Senos, e entender como a progressão aritmética dos lados influencia essa relação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, se os lados $ a $, $ b $ e $ c $ estão em PA, podemos escrever:
a
Isso significa que o lado $ b $ é a média dos lados $ a $ e $ c $.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo:
asin A = bsin B = csin C = 2R
Onde $ R $ é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Como os lados estão em PA, a gente já sabe que $ b = \frac{a + c}{2} $. Vamos substituir isso na Lei dos Senos:
R

Passo 4

Vamos focar na parte da igualdade que envolve os lados $ a $ e $ c $:
a
Podemos reescrever isso como:
c
Isso indica que há uma proporcionalidade entre os lados e os senos dos ângulos opostos.

Passo 5

Sabemos que em um triângulo, a soma dos ângulos é $ 180^\circ $. Então:
180^circ
Podemos isolar $ \hat{B} $:
A + B + C = 180^circ
Agora, usamos a identidade trigonométrica do seno:
B

Passo 6

Voltando à Lei dos Senos e substituindo $ \sin B $ pela expressão acima:
sin B
Podemos rearranjar essa equação:
a + c2sin(A + C) = 2R
a + c2 = 2R sin(A + C)

Passo 7

Lembrando que da relação $ a \sin C = c \sin A $, podemos dividir ambos os lados por $ ac $:
a sin C = c sin A
Mas como $ \frac{a}{\sin A} = 2R $, então:
ac
Multiplicando ambos os lados por $ c $:
sin Cc = sin Aa

Passo 8

Agora, substituímos $ a = 2R \sin A $ e $ c = 2R \sin C $ na equação $ a + c = 4R \sin(\hat{A} + \hat{C}) $:
a = 2R sin A
Dividindo ambos os lados por $ 2R $:
c = 2R sin C

Resposta

Portanto, a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos desse triângulo é:
2 sin(A + C) = sin(A) + sin(C)

Exercícios relacionados