Seja um triângulo ABC com lados
e
opostos aos ângulos
e
, respectivamente. Os lados
e
formam uma progressão aritmética nesta ordem. Determine a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos dos vértices desse triângulo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um triângulo ABC onde os lados $ a $, $ b $ e $ c $ estão em progressão aritmética nessa ordem. A gente precisa descobrir uma relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos desse triângulo. Pra isso, vamos usar conceitos de trigonometria de triângulos, especificamente a Lei dos Senos, e entender como a progressão aritmética dos lados influencia essa relação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma progressão aritmética (PA). Em uma PA, a diferença entre um termo e o anterior é sempre a mesma. Então, se os lados $ a $, $ b $ e $ c $ estão em PA, podemos escrever:
Isso significa que o lado $ b $ é a média dos lados $ a $ e $ c $.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a Lei dos Senos, que diz que em qualquer triângulo:
Onde $ R $ é o raio da circunferência circunscrita ao triângulo.
Como os lados estão em PA, a gente já sabe que $ b = \frac{a + c}{2} $. Vamos substituir isso na Lei dos Senos:
Passo 4
Vamos focar na parte da igualdade que envolve os lados $ a $ e $ c $:
Podemos reescrever isso como:
Isso indica que há uma proporcionalidade entre os lados e os senos dos ângulos opostos.
Passo 5
Sabemos que em um triângulo, a soma dos ângulos é $ 180^\circ $. Então:
Podemos isolar $ \hat{B} $:
Agora, usamos a identidade trigonométrica do seno:
Passo 6
Voltando à Lei dos Senos e substituindo $ \sin B $ pela expressão acima:
Podemos rearranjar essa equação:
Passo 7
Lembrando que da relação $ a \sin C = c \sin A $, podemos dividir ambos os lados por $ ac $:
Mas como $ \frac{a}{\sin A} = 2R $, então:
Multiplicando ambos os lados por $ c $:
Passo 8
Agora, substituímos $ a = 2R \sin A $ e $ c = 2R \sin C $ na equação $ a + c = 4R \sin(\hat{A} + \hat{C}) $:
Dividindo ambos os lados por $ 2R $:
Resposta
Portanto, a relação correta entre as funções trigonométricas dos ângulos desse triângulo é: