lim x 1 3 x^3-5 x^2+x+15 x^3-3 x^2+x-3

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto1 3x^3 - 5x^2 + x + 15x^3 - 3x^2 + x - 3. O tema é limite de função racional, e vamos precisar usar substituição direta e, se der forma indeterminada 0/0, aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, tentamos a substituição direta de x=1. Calculando numerador e denominador:
3(1)^3 - 5(1)^2 + 1 + 1 = 3 - 5 + 1 + 1 = 0,
5(1)^3 - 3(1)^2 + 1 - 3 = 5 - 3 + 1 - 3 = 0

Passo 3

Como ficou a forma indeterminada 0/0, podemos usar a regra de L’Hôpital, que diz que
limxto1 f(x)g(x) = limxto1 f'(x)g'(x) desde que f(1)=g(1)=0 e exista o limite da derivada.

Passo 4

Derivando numerador e denominador:
f'(x) = ddx(3x^3 - 5x^2 + x + 1) = 9x^2 - 10x + 1,
g'(x) = ddx(5x^3 - 3x^2 + x - 3) = 15x^2 - 6x + 1

Passo 5

Agora avaliamos o novo limite por substituição direta em x=1:
9(1)^2 - 10(1) + 1 = 9 - 10 + 1 = 0,
15(1)^2 - 6(1) + 1 = 15 - 6 + 1 = 10

Passo 6

Portanto,
limxto1 f'(x)g'(x) = 010 = 0

Resposta

0

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