Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial y^prime-2 y=x e^x
Escolha uma opção:
y=C e^2 x+19 x e^x-13 e^x
y=C e^-x+sen x2
y=C e^-2 x+x^2 e^x3-2 x e^x9+2 e^x27
y=C x^-3+x cos x-sen x
Nenhuma das demais alternativas
y=C e^3 x+14 e^-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
y' - 2y = x e^x
Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que ajuda a encontrar a solução geral da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de equação linear:
y' + P(x)y = Q(x)
No nosso caso, temos:
y' - 2y = x e^x
Então, identificamos que:
P(x) = -2 e Q(x) = x e^x

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) dx
Substituindo P(x):
mu(x) = e^integral -2 dx = e^-2x

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
e^-2x y' - 2 e^-2x y = x e^x e^-2x
Simplificando a parte direita:
e^-2x y' - 2 e^-2x y = x e^-x

Passo 5

A equação ficou:
ddx( e^-2x y ) = x e^-x
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto e^-2x y.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a x:
integral ddx( e^-2x y ) dx = integral x e^-x dx
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente e^-2x y:
e^-2x y = integral x e^-x dx + C

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
u = x Rightarrow du = dx dv = e^-x dx Rightarrow v = -e^-x
Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x e^-x dx = -x e^-x + integral e^-x dx = -x e^-x - e^-x + C

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
e^-2x y = -x e^-x - e^-x + C
Agora, vamos resolver para y multiplicando ambos os lados por e^2x:
y = e^2x ( -x e^-x - e^-x + C )
Simplificando:
y = -x e^x - e^x + C e^2x

Passo 9

Rearranjando os termos:
y = C e^2x - (x + 1) e^x

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = C e^2x - (x + 1) e^x
Dos itens apresentados, a opção correta é:
boxedy=C e^2 x+19 x e^x-13 e^x

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