Determine uma solução geral para seguinte equação diferencial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo linear de primeira ordem. A equação que temos é:
Para resolver isso, vamos precisar usar o fator integrante, uma técnica que ajuda a encontrar a solução geral da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação na forma padrão de equação linear:
No nosso caso, temos:
Então, identificamos que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante:
Simplificando a parte direita:
Passo 5
A equação ficou:
Isso porque o lado esquerdo é a derivada do produto
.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
:
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos resolver para
multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Passo 9
Rearranjando os termos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Dos itens apresentados, a opção correta é: