Determine L para que a função dada seja contínua em R.
(a) f(x)=clsen(x^2+2)-sen(x+2)x & , se x neq 0 L & , se x=0
(b) f(x)=ccraizx^8+x^4x^2 & , se x neq 0 L & , se x=0
Resp.: (a) -cos 2; (b) 1.

Passo 1

O exercício pede para determinar o valor de L de modo que as funções dadas por partes sejam contínuas em R. No item (a) temos uma expressão envolvendo diferença de senos sobre x em xneq0 e no item (b) uma raiz quadrada de polinômio sobre x^2. Vamos usar limites e simplificações algébricas para achar L.

Passo 2

Para que f seja contínua em x=0, precisamos ter
L=limxto0sinl(x^2+2r)-sin(x+2)x
Como o numerador e o denominador tendem a zero, aplicamos a expansão de Taylor de sin em torno de 2:
sin(x^2+2)approxsin2+cos2,(x^2),
sin(x+2)approxsin2+cos2,(x)
Subtraindo essas duas e dividindo por x temos
[sin2+cos2,x^2]-[sin2+cos2,x]x =cos2,(x^2-x)x =cos2,(x-1)
e, fazendo xto0, vem
L=-cos2

Passo 3

No item (b) a função é
f(x)=raizx^8+x^4x^2, xneq0
Dentro da raiz fatoramos x^4:
raizx^8+x^4=raizx^4(x^4+1)=|x^2|raizx^4+1
Como x^2>=0 para todo x, temos |x^2|=x^2 e
f(x)=x^2raizx^4+1x^2=raizx^4+1
Assim
L=limxto0f(x)=limxto0raizx^4+1=1

Resposta

(a) -cos2; (b) 1

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