Determine o menor valor de alpha para o qual a solução y=y(t) tenha valor mínimo ymin >= 4.
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas 6(3+raiz3) 2(1-raiz3) 2(1-raiz2) 2(3+raiz2) 6(1+raiz3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5y' + 6y = 0
com condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = \alpha $. Nosso objetivo é descobrir o menor valor de $ \alpha $ tal que a solução $ y(t) $ tenha um valor mínimo $ y_{min} \geq 4 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais e analisar o comportamento da função para determinar o valor de $ \alpha $.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' + 5y' + 6y = 0
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode encontrar a solução geral resolvendo a equação característica associada.
Passo 3
A equação característica é:
r^2 + 5r + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Então, as raízes são:
r = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm 12
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.
Passo 5
Vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, temos:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 çã
Passo 6
Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = \alpha $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = alpha
Então, temos:
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t çã
Passo 7
Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
Como $ e^{t} > 0 $ para todo $ t $, essa equação sempre terá uma solução real para $ t $.
Passo 10
Agora, substituímos $ t $ de volta na função $ y(t) $ para encontrar o valor mínimo $ y_{min} $:
t
Usando $ e^{t} = \frac{3(4 + \alpha)}{2(6 + \alpha)} $, podemos expressar $ e^{-2t} $ e $ e^{-3t} $ em termos de $ \alpha $:
y(t)
Substituindo de volta na expressão de $ y_{min} $ e resolvendo, encontramos que para $ y_{min} \geq 4 $, o menor valor de $ \alpha $ que satisfaz essa condição é: