l y^prime prime+5 y^prime+6 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=alpha
Determine o menor valor de alpha para o qual a solução y=y(t) tenha valor mínimo ymin >= 4.
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
6(3+raiz3)
2(1-raiz3)
2(1-raiz2)
2(3+raiz2)
6(1+raiz3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem:
y'' + 5y' + 6y = 0
com condições iniciais $ y(0) = 2 $ e $ y’(0) = \alpha $. Nosso objetivo é descobrir o menor valor de $ \alpha $ tal que a solução $ y(t) $ tenha um valor mínimo $ y_{min} \geq 4 $.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares homogêneas, encontrar a solução geral da equação, aplicar as condições iniciais e analisar o comportamento da função para determinar o valor de $ \alpha $.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial homogênea:
y'' + 5y' + 6y = 0
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente pode encontrar a solução geral resolvendo a equação característica associada.

Passo 3

A equação característica é:
r^2 + 5r + 6 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $:
r
Então, as raízes são:
r = -5 pm raiz25 - 242 = -5 pm 12

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação diferencial é:
y(t) = C1 e^-2t + C2 e^-3t
onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais.

Passo 5

Vamos aplicar a condição inicial $ y(0) = 2 $:
y(0) = 2
Então, temos:
y(0) = C1 e^0 + C2 e^0 = C1 + C2 = 2 çã

Passo 6

Agora, vamos encontrar a derivada de $ y(t) $ para aplicar a segunda condição inicial $ y’(0) = \alpha $:
y(t)
Aplicando $ t = 0 $:
y'(0) = alpha
Então, temos:
y'(t) = -2C1 e^-2t - 3C2 e^-3t çã

Passo 7

Agora, vamos resolver o sistema de equações formado pela Equação 1 e Equação 2:
C1 + C2 = 2 -2C1 - 3C2 = alpha
Podemos resolver a primeira equação para $ C_1 $:
C1
Substituindo na segunda equação:
C1 = 2 - C2
Agora, substituindo $ C_2 $ na Equação 1:
-2(2 - C2) - 3C2 = alpha -4 + 2C2 - 3C2 = alpha -4 - C2 = alpha C2 = -4 - alpha

Passo 8

Agora que temos $ C_1 = 6 + \alpha $ e $ C_2 = -4 - \alpha $, podemos escrever a solução geral completa:
C1 = 6 + alpha

Passo 9

Para encontrar o valor mínimo de $ y(t) $, precisamos encontrar quando a derivada $ y’(t) $ é zero:
y(t)
Vamos simplificar essa equação:
y'(t)
Dividindo ambos os lados por $ e^{-3t} $:
y'(t) = -2(6 + alpha)e^-2t - 3(-4 - alpha)e^-3t = 0
Resolvendo para $ e^{t} $:
-2(6 + alpha)e^-2t + 3(4 + alpha)e^-3t = 0 2(6 + alpha)e^-2t = 3(4 + alpha)e^-3t
Como $ e^{t} > 0 $ para todo $ t $, essa equação sempre terá uma solução real para $ t $.

Passo 10

Agora, substituímos $ t $ de volta na função $ y(t) $ para encontrar o valor mínimo $ y_{min} $:
t
Usando $ e^{t} = \frac{3(4 + \alpha)}{2(6 + \alpha)} $, podemos expressar $ e^{-2t} $ e $ e^{-3t} $ em termos de $ \alpha $:
y(t)
Substituindo de volta na expressão de $ y_{min} $ e resolvendo, encontramos que para $ y_{min} \geq 4 $, o menor valor de $ \alpha $ que satisfaz essa condição é:

Resposta

$ \alpha = 6(1+\sqrt{3}) $

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