Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
raizt y^prime prime+12 raizt y^prime+y=0
Escolha uma opção:
craizt
ct^2
c raizt
c e^raizt
c e^traizt
Nenhuma das demais alternativas

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
raizt , y'' + 12 raizt , y' + y = 0
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como o Wronskiano se comporta nessas situações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial, o Wronskiano $ W(t) $ é definido por:
y1
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, vamos usar uma propriedade importante das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para uma equação da forma:
P(t) y'' + Q(t) y' + R(t) y = 0,
o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a seguinte equação diferencial:
W(t)
Isso significa que podemos encontrar $ W(t) $ resolvendo essa equação.

Passo 4

Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
P(t) = raizt, Q(t) = 12raizt, R(t) = 1
Substituindo na equação do Wronskiano:
W' = -Q(t)P(t) W = -12raiztraizt W = -12t W

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial simples para $ W(t) $:
W(t)
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.

Passo 6

Vamos reescrever a equação:
dWdt + 12t W = 0
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
mu(t)
Multiplicando a equação por $ \mu(t) $:
mu(t) = e^integral 12t dt = e^12 ln t = t^1/2
Isso simplifica para:
mu(t)

Passo 7

Integrando ambos os lados:
t^1/2 W = C Rightarrow W = Craizt
Onde $ C $ é a constante de integração.

Resposta

A forma do Wronskiano é craizt.

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