Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada:
Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares de segunda ordem e como o Wronskiano se comporta nessas situações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Wronskiano. Para duas soluções $ y_1 $ e $ y_2 $ de uma equação diferencial, o Wronskiano $ W(t) $ é definido por:
O Wronskiano nos ajuda a verificar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, vamos usar uma propriedade importante das equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para uma equação da forma:
o Wronskiano $ W(t) $ satisfaz a seguinte equação diferencial:
Isso significa que podemos encontrar $ W(t) $ resolvendo essa equação.
Passo 4
Vamos identificar os coeficientes da nossa equação:
Substituindo na equação do Wronskiano:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial simples para $ W(t) $:
Essa é uma equação linear de primeira ordem que podemos resolver usando o método do fator integrante.
Passo 6
Vamos reescrever a equação:
O fator integrante $ \mu(t) $ é dado por:
Multiplicando a equação por $ \mu(t) $:
Isso simplifica para:
Passo 7
Integrando ambos os lados:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Resposta
A forma do Wronskiano é
craizt .