Encontre o conjunto fundamental de soluções y1, y2 para a equação diferencial
y^prime prime+3 y^prime+2 y=0
que satisfaçam as condições
l l y1(1)=1 y1^prime(1)=0 l e l y2(1)=0 y2^prime(1)=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
y^prime prime + 3 y^prime + 2 y = 0
E o que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções básicas, que a gente chama de conjunto fundamental de soluções y1, y2. Essas soluções têm que satisfazer algumas condições específicas que são:
y1(1) = 1 y1^prime(1) = 0 e y2(1) = 0 y2^prime(1) = 1
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar suas soluções gerais usando a equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a equação característica da nossa EDO. Para uma equação da forma
y^prime prime + a y^prime + b y = 0
A equação característica é
r^2 + a r + b = 0
No nosso caso, temos a = 3 e b = 2, então a equação característica fica:
r^2 + 3 r + 2 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a
Aplicando os valores:
r = -3 pm raiz9 - 82 = -3 pm 12
Então, as raízes são:
r1 = -1 e r2 = -2

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
y(t) = C1 e^r1 t + C2 e^r2 t
Substituindo r1 = -1 e r2 = -2:
y(t) = C1 e^-t + C2 e^-2 t

Passo 5

Agora, precisamos encontrar as soluções específicas y1 e y2 que satisfaçam as condições iniciais dadas. Vamos montar dois sistemas de equações para determinar os coeficientes C1 e C2 para cada solução.
Para y1:
y1(1) = C1 e^-1 + C2 e^-2 = 1 y1^prime(1) = -C1 e^-1 - 2 C2 e^-2 = 0
Para y2:
y2(1) = C1 e^-1 + C2 e^-2 = 0 y2^prime(1) = -C1 e^-1 - 2 C2 e^-2 = 1
Vamos resolver cada sistema separadamente.
Resolvendo para y1:
Das equações:
C1 e^-1 + C2 e^-2 = 1 -C1 e^-1 - 2 C2 e^-2 = 0
Podemos multiplicar a segunda equação por -1:
C1 e^-1 + 2 C2 e^-2 = 0
Agora, temos:
C1 e^-1 + C2 e^-2 = 1 C1 e^-1 + 2 C2 e^-2 = 0
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 e^-1 + 2 C2 e^-2) - (C1 e^-1 + C2 e^-2) ) = -1
Isso simplifica para:
C2 e^-2 = -1 Rightarrow C2 = - e^2
Substituindo C2 na primeira equação:
C1 e^-1 - e^2 e^-2 = 1 Rightarrow C1 e^-1 - e^0 = 1 Rightarrow C1 e^-1 - 1 = 1
Então:
C1 e^-1 = 2 Rightarrow C1 = 2 e^1 = 2 e
Portanto, a solução y1 é:
y1(t) = 2 e cdot e^-t - e^2 cdot e^-2 t = 2 e^1 - t - e^2 - 2 t
Resolvendo para y2:
Das equações:
C1 e^-1 + C2 e^-2 = 0 -C1 e^-1 - 2 C2 e^-2 = 1
Multiplicando a segunda equação por -1:
C1 e^-1 + 2 C2 e^-2 = -1
Agora, temos:
C1 e^-1 + C2 e^-2 = 0 C1 e^-1 + 2 C2 e^-2 = -1
Subtraindo a primeira equação da segunda:
(C1 e^-1 + 2 C2 e^-2) - (C1 e^-1 + C2 e^-2) ) = -1
Isso simplifica para:
C2 e^-2 = -1 Rightarrow C2 = - e^2
Substituindo C2 na primeira equação:
C1 e^-1 - e^2 e^-2 = 0 Rightarrow C1 e^-1 - 1 = 0 Rightarrow C1 e^-1 = 1 Rightarrow C1 = e
Portanto, a solução y2 é:
y2(t) = e cdot e^-t - e^2 cdot e^-2 t = e^1 - t - e^2 - 2 t

Resposta

As soluções fundamentais que satisfazem as condições dadas são:
y1(t) = 2, e^1 - t - e^2 - 2 t
y2(t) = e^1 - t - e^2 - 2 t

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