Encontre o conjunto fundamental de soluções
para a equação diferencial
que satisfaçam as condições
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
E o que a gente precisa fazer é encontrar duas soluções básicas, que a gente chama de conjunto fundamental de soluções
. Essas soluções têm que satisfazer algumas condições específicas que são:
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes e como encontrar suas soluções gerais usando a equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a equação característica da nossa EDO. Para uma equação da forma
A equação característica é
No nosso caso, temos
e
, então a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Aplicando os valores:
Então, as raízes são:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Quando temos duas raízes reais e distintas, a solução geral é:
Substituindo
e
:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar as soluções específicas
e
que satisfaçam as condições iniciais dadas. Vamos montar dois sistemas de equações para determinar os coeficientes
e
para cada solução.
Para
:
Para
:
Vamos resolver cada sistema separadamente.
Resolvendo para
:
Das equações:
Podemos multiplicar a segunda equação por -1:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Substituindo
na primeira equação:
Então:
Portanto, a solução
é:
Resolvendo para
:
Das equações:
Multiplicando a segunda equação por -1:
Agora, temos:
Subtraindo a primeira equação da segunda:
Isso simplifica para:
Substituindo
na primeira equação:
Portanto, a solução
é:
Resposta
As soluções fundamentais que satisfazem as condições dadas são: