Use o Teorema de Pappus para encontrar o volume do sólido dado.
(a) Uma esfera de raio r
(b) Um cone com altura h e raio da base r.
© O sólido obtido pela rotação do triângulo com vértices (2,3),(2,5) e (5,4) ao redor do eixo x.

Passo 1

Neste exercício vamos aplicar o Teorema de Pappus, cujo enunciado diz que o volume do sólido gerado pela rotação de uma região plana é dado por: V = A · (distância percorrida pelo centroide). Precisaremos para cada caso calcular a área A da região-geratriz e a posição do centroide (para obter a distância ao eixo).

Passo 2

Para a esfera de raio r a região-geratriz é um semicírculo de raio r girado em torno do eixo que passa pelo seu diâmetro. A área do semicírculo é:
A = tfrac12pi r^2
O centroide de um semicírculo fica a uma distância y = tfrac4r3pi do eixo de rotação. Pela fórmula de Pappus:
V = A cdot (2piy) = l(tfrac12pi r^2r),l(2pitfrac4r3pir) = tfrac43pi r^3

Passo 3

Para o cone de altura h e raio da base r, podemos ver a região-geratriz como um triângulo retângulo de base r e altura h girando em torno da altura h. A área desse triângulo é:
A = tfrac12 r h
O centroide do triângulo está a y = tfracr3 da altura (distância ao eixo de rotação). Logo,
V = A cdot (2piy) = l(tfrac12 r hr),(2pitfracr3) = tfrac13pi r^2 h

Passo 4

Para o sólido gerado pelo triângulo de vértices (2,3),(2,5),(5,4) girando em torno do eixo x, primeiro calculamos a área por fórmula de Gauss (shoelace):
A = tfrac12l|2cdot5 + 2cdot4 + 5cdot3 - (3cdot2 + 5cdot5 + 4cdot2)r| = 3
O centroide do triângulo tem coordenada yc média dos y:
yc = tfrac3+5+43 = 4
Ao girar em torno do eixo x, o centroide percorre uma circunferência de raio 4, ou seja distância 2picdot4=8pi. Portanto,
V = A,(2pi yc) = 3,(8pi) = 24pi

Resposta

(a) V = tfrac43pi r^3
(b) V = tfrac13pi r^2 h
© V = 24pi

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