Neste exercício vamos aplicar o Teorema de Pappus, cujo enunciado diz que o volume do sólido gerado pela rotação de uma região plana é dado por: V = A · (distância percorrida pelo centroide). Precisaremos para cada caso calcular a área A da região-geratriz e a posição do centroide (para obter a distância ao eixo).
Passo 2
Para a esfera de raio a região-geratriz é um semicírculo de raio girado em torno do eixo que passa pelo seu diâmetro. A área do semicírculo é:
O centroide de um semicírculo fica a uma distância do eixo de rotação. Pela fórmula de Pappus:
Passo 3
Para o cone de altura e raio da base , podemos ver a região-geratriz como um triângulo retângulo de base e altura girando em torno da altura . A área desse triângulo é:
O centroide do triângulo está a da altura (distância ao eixo de rotação). Logo,
Passo 4
Para o sólido gerado pelo triângulo de vértices girando em torno do eixo , primeiro calculamos a área por fórmula de Gauss (shoelace):
O centroide do triângulo tem coordenada yc média dos y:
yc = tfrac3+5+43 = 4
Ao girar em torno do eixo x, o centroide percorre uma circunferência de raio 4, ou seja distância 2picdot4=8pi. Portanto,