Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de Wronskiano para uma equação diferencial. A pergunta nos dá a seguinte equação:
E nos pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções dessa equação. Para isso, vamos usar a fórmula de Abel, que nos ajuda a encontrar o Wronskiano sem precisar das soluções explícitas da equação. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, precisamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão para uma equação diferencial de segunda ordem é:
Para isso, vamos dividir toda a equação por $ t $ (desde que $ t \neq 0 $):
Agora, identificamos:
- $ P(t) = t $
- $ Q(t) = \frac{\cos(t)}{t} $
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano $ W(t) $. A fórmula é:
Onde $ c $ é uma constante.
Substituindo $ P(t) = t $:
Passo 4
Vamos calcular a integral no expoente:
Então, a expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar o resultado com as opções fornecidas:
- $ c t^{2} e^{t} $
- $ c e{t{2}} $
- $ \frac{c e^{t}}{t} $
- Nenhuma das demais alternativas
- $ \frac{c}{1+t^{2}} $
- $ \frac{c}{t^{2}} $
O Wronskiano que encontramos é $ c e{-\frac{t{2}}{2}} $, que não corresponde a nenhuma das opções listadas.
Resposta
Nenhuma das demais alternativas