Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
t y^prime prime+t^2 y^prime+cos (t) y=0
Escolha uma opção:
c t^2 e^t
c e^t^2
c e^tt
Nenhuma das demais alternativas
c1+t^2
ct^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de Wronskiano para uma equação diferencial. A pergunta nos dá a seguinte equação:
t y'' + t^2 y' + cos(t) y = 0
E nos pede para determinar a forma do Wronskiano de duas soluções dessa equação. Para isso, vamos usar a fórmula de Abel, que nos ajuda a encontrar o Wronskiano sem precisar das soluções explícitas da equação. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, precisamos colocar a equação diferencial na forma padrão. A forma padrão para uma equação diferencial de segunda ordem é:
y'' + P(t) y' + Q(t) y = 0
Para isso, vamos dividir toda a equação por $ t $ (desde que $ t \neq 0 $):
t
Agora, identificamos:
  • $ P(t) = t $
  • $ Q(t) = \frac{\cos(t)}{t} $

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano $ W(t) $. A fórmula é:
W(t)
Onde $ c $ é uma constante.
Substituindo $ P(t) = t $:
W(t) = c cdot e^-integral P(t) dt

Passo 4

Vamos calcular a integral no expoente:
integral t , dt = t^22
Então, a expressão fica:
W(t) = c cdot e^-t^22

Passo 5

Agora, vamos comparar o resultado com as opções fornecidas:
  1. $ c t^{2} e^{t} $
  2. $ c e{t{2}} $
  3. $ \frac{c e^{t}}{t} $
  4. Nenhuma das demais alternativas
  5. $ \frac{c}{1+t^{2}} $
  6. $ \frac{c}{t^{2}} $
O Wronskiano que encontramos é $ c e{-\frac{t{2}}{2}} $, que não corresponde a nenhuma das opções listadas.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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