Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira
ou falsa
, justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Para quaisquer
, tem-se
.
Para quaisquer
Passo 1
A afirmação quer mostrar que para quaisquer números não-negativos x e y vale
. O conteúdo é desigualdade entre médias (AM–GM) e manipulação de inequações envolvendo quadrados.
Passo 2
Como tanto
quanto
são não-negativos, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem alterar o sentido da desigualdade. Ou seja,
equivale a
pois quadrar números não-negativos preserva desigualdades.
Passo 3
Calculando cada lado, temos:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por 4 (positivos) obtemos
Passo 5
Repare que
e sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não-negativo. Portanto,
é verdadeiro para todo x e y reais, em particular para x,y \ge 0.
Passo 6
Isso prova que a desigualdade inicial vale para todos x,y \ge 0.
Resposta
Verdadeira (V)