Em cada um dos itens abaixo responda se a afirmação é verdadeira (V) ou falsa (F), justificando sua resposta. Ou seja, prove se for verdadeira ou dê um contra-exemplo se for falsa.
Para quaisquer x, y >= 0, tem-se raizx y <=(x+y) / 2.

Passo 1

A afirmação quer mostrar que para quaisquer números não-negativos x e y vale raizxy<= (x+y)/2. O conteúdo é desigualdade entre médias (AM–GM) e manipulação de inequações envolvendo quadrados.

Passo 2

Como tanto raizxy quanto (x+y)/2 são não-negativos, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem alterar o sentido da desigualdade. Ou seja, raizxy<= (x+y)/2 equivale a
l(raizxyr)^2 <= gl(x+y2gr)^2,
pois quadrar números não-negativos preserva desigualdades.

Passo 3

Calculando cada lado, temos:
xy <= (x+y)^24 = x^2 + 2xy + y^24

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 4 (positivos) obtemos
4xy <= x^2 + 2xy + y^2 Long<=ftrightarrow 0 <= x^2 - 2xy + y^2

Passo 5

Repare que
x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2,
e sabemos que o quadrado de qualquer número real é sempre não-negativo. Portanto,
(x - y)^2 >= 0
é verdadeiro para todo x e y reais, em particular para x,y \ge 0.

Passo 6

Isso prova que a desigualdade inicial vale para todos x,y \ge 0.

Resposta

Verdadeira (V)

Exercícios relacionados