(1 pontos) Seja
o valor da área delimitada pelas curvas
e
. Determine o valor de
.
a) 4
b) 5
c) 2
d) 1
e) 3 .
a) 4
b) 5
c) 2
d) 1
e) 3 .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a área delimitada pelas curvas $ y = 3x^2 + 5x $, $ y = x $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso envolve cálculos de áreas entre curvas usando integração, que é um assunto da matemática chamado Cálculo Integral.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender quais dessas curvas estão por cima ou por baixo no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $. Para isso, vamos comparar os valores das funções nesse intervalo.
Passo 3
Vamos ver o que acontece em $ x = 0 $:
- $ y = 3(0)^2 + 5(0) = 0 $
- $ y = 0 $
Então, ambas as curvas passam pela origem.
Passo 4
Agora, em $ x = 1 $:
- $ y = 3(1)^2 + 5(1) = 3 + 5 = 8 $
- $ y = 1 $
Aqui, $ y = 3x^2 + 5x $ está acima de $ y = x $.
Passo 5
Para ter certeza de que $ y = 3x^2 + 5x $ está sempre acima de $ y = x $ nesse intervalo, vamos resolver a equação $ 3x^2 + 5x = x $:
As soluções são $ x = 0 $ e $ x = -\frac{4}{3} $. No intervalo de $ 0 $ a $ 1 $, apenas $ x = 0 $ é relevante, confirmando que $ y = 3x^2 + 5x $ está acima de $ y = x $.
Passo 6
Agora, para encontrar a área $ S $, calculamos a integral da diferença das duas funções de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Simplificando:
Passo 7
Vamos integrar termo a termo:
Então:
Passo 8
Avaliando de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
Resposta
A área $ S $ é igual a 3.
Alternativa e) 3.
Alternativa e) 3.