(1 pontos) Seja S o valor da área delimitada pelas curvas y=3 x^2+5 x, y=x, x=0 e x=1. Determine o valor de S.
a) 4
b) 5
c) 2
d) 1
e) 3 .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre encontrar a área delimitada pelas curvas $ y = 3x^2 + 5x $, $ y = x $, $ x = 0 $ e $ x = 1 $. Isso envolve cálculos de áreas entre curvas usando integração, que é um assunto da matemática chamado Cálculo Integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender quais dessas curvas estão por cima ou por baixo no intervalo de $ x = 0 $ a $ x = 1 $. Para isso, vamos comparar os valores das funções nesse intervalo.

Passo 3

Vamos ver o que acontece em $ x = 0 $:
  • $ y = 3(0)^2 + 5(0) = 0 $
  • $ y = 0 $
    Então, ambas as curvas passam pela origem.

Passo 4

Agora, em $ x = 1 $:
  • $ y = 3(1)^2 + 5(1) = 3 + 5 = 8 $
  • $ y = 1 $
    Aqui, $ y = 3x^2 + 5x $ está acima de $ y = x $.

Passo 5

Para ter certeza de que $ y = 3x^2 + 5x $ está sempre acima de $ y = x $ nesse intervalo, vamos resolver a equação $ 3x^2 + 5x = x $:
y = 3x^2 + 5x
y = x
3x^2 + 5x = x
As soluções são $ x = 0 $ e $ x = -\frac{4}{3} $. No intervalo de $ 0 $ a $ 1 $, apenas $ x = 0 $ é relevante, confirmando que $ y = 3x^2 + 5x $ está acima de $ y = x $.

Passo 6

Agora, para encontrar a área $ S $, calculamos a integral da diferença das duas funções de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
S
Simplificando:
x = 0

Passo 7

Vamos integrar termo a termo:
integral 3x^2 , dx = x^3
integral 4x , dx = 2x^2
Então:
S = [ x^3 + 2x^2 ]0^1

Passo 8

Avaliando de $ x = 0 $ a $ x = 1 $:
x = 0

Resposta

A área $ S $ é igual a 3.
Alternativa e) 3.

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