Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
t y^prime prime+2 y^prime+y=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
t y^prime prime + 2 y^prime + y = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ é dado por:
y1(t)
Ele nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.

Passo 3

Agora, para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma
t y'' + 2 y' + y = 0
podemos usar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano. A fórmula de Abel diz que:
W(t) = C cdot e^-integral P(t) , dt
onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y’ $ na equação diferencial quando a equação está na forma padrão $ y’’ + P(t) y’ + Q(t) y = 0 $, e $ C $ é uma constante.

Passo 4

Primeiro, vamos colocar nossa equação na forma padrão dividindo todos os termos por $ t $:
t
Aqui, temos $ P(t) = \frac{2}{t} $.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Abel:
W(t) = C cdot e^-integral 2t , dt = C cdot e^-2 ln |t| = C cdot |t|^-2
Como estamos lidando com valores positivos de $ t $ (geralmente no contexto de equações diferenciais), podemos simplificar:
t

Resposta

A forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada é
W(t) = Ct^2
onde $ C $ é uma constante.

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