Determine a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar a forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o Wronskiano e como ele se relaciona com as soluções da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Wronskiano. O Wronskiano de duas funções $ y_1(t) $ e $ y_2(t) $ é dado por:
Ele nos ajuda a determinar se as soluções são linearmente independentes.
Passo 3
Agora, para uma equação diferencial linear de segunda ordem da forma
podemos usar a fórmula de Abel para encontrar o Wronskiano. A fórmula de Abel diz que:
onde $ P(t) $ é o coeficiente de $ y’ $ na equação diferencial quando a equação está na forma padrão $ y’’ + P(t) y’ + Q(t) y = 0 $, e $ C $ é uma constante.
Passo 4
Primeiro, vamos colocar nossa equação na forma padrão dividindo todos os termos por $ t $:
Aqui, temos $ P(t) = \frac{2}{t} $.
Passo 5
Aplicando a fórmula de Abel:
Como estamos lidando com valores positivos de $ t $ (geralmente no contexto de equações diferenciais), podemos simplificar:
Resposta
A forma do Wronskiano de duas soluções da equação diferencial dada é
onde $ C $ é uma constante.