Em que pontos f é derivável?
a) f(x)=raizx^4+x^6
b) f(x)=raizx^2+x^4.
Resp.: a) em todos os pontos, b) em x0 neq 0.

Passo 1

Resumo da questão: temos duas funções, f1(x)=raizx^4+x^6 e f2(x)=raizx^2+x^4. O conteúdo é análise de derivabilidade usando regra da cadeia e propriedades de raizcdot e valor absoluto. Vamos verificar onde cada função é diferenciável.

Passo 2

Para f1(x)=raizx^4+x^6, note que
x^4+x^6=x^4(1+x^2)
e como x^4>=0, pode-se escrever
f1(x)=raizx^4;raiz1+x^2=x^2raiz1+x^2

Passo 3

Aqui x^2 e raiz1+x^2 são funções suaves (infinitamente deriváveis) em todo R. Logo, o produto também é suave, isto é, f1 é diferenciável em todo R.

Passo 4

Para f2(x)=raizx^2+x^4, fazemos passo semelhante:
x^2+x^4=x^2(1+x^2)
e
f2(x)=raizx^2;raiz1+x^2=|x|raiz1+x^2

Passo 5

Repare que |x| não é diferenciável em x=0 (as derivadas laterais são -1 e +1). Como raiz1+x^2 é suave, o único possível problema é em x=0. Logo, f2 é diferenciável em todo ponto xneq0, mas não em x=0.

Resposta

a) diferenciável em todo R; b) diferenciável apenas para x0neq0.

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