Em que pontos
é derivável?
a)
b)
.
Resp.: a) em todos os pontos, b) em
.
a)
b)
Resp.: a) em todos os pontos, b) em
Passo 1
Resumo da questão: temos duas funções,
e
. O conteúdo é análise de derivabilidade usando regra da cadeia e propriedades de
e valor absoluto. Vamos verificar onde cada função é diferenciável.
Passo 2
Para
, note que
e como
Passo 3
Aqui
e
são funções suaves (infinitamente deriváveis) em todo
. Logo, o produto também é suave, isto é,
é diferenciável em todo
.
Passo 4
Para
, fazemos passo semelhante:
e
Passo 5
Repare que
não é diferenciável em
(as derivadas laterais são
e
). Como
é suave, o único possível problema é em
. Logo,
é diferenciável em todo ponto
, mas não em
.
Resposta
a) diferenciável em todo
; b) diferenciável apenas para
.