Para as funções
e
definidas abaixo, encontre (i)
, (ii)
, (iii)
, (iv)
e (v)
e defina seus domínios.
Passo 1
Resumindo a questão: temos as funções f(x)=x³ e g(x)=√x. Vamos usar operações de soma, quociente e composição de funções. Para soma e quociente, o domínio é a interseção dos domínios de f e g, excluindo valores que anulem o denominador. Para composição f∘g, precisamos de x no domínio de g e g(x) no domínio de f; idem para g∘f.
Passo 2
Definindo f+g: (f+g)(x)=f(x)+g(x)=x³+√x. O domínio de f é ℝ e o de g é [0,∞), logo dom(f+g)=ℝ∩[0,∞)=[0,∞).
Definindo f/g: (f/g)(x)=f(x)/g(x)=x³/√x. Como √x=x^(1/2), simplifica-se para x^(5/2). O domínio inicial é [0,∞), mas excluímos x com g(x)=0 (x=0). Logo dom(f/g)=(0,∞).
Definindo g/f: (g/f)(x)=g(x)/f(x)=√x/x³ = x(1/2−3)=x(−5/2)=1/x^(5/2). O domínio original é [0,∞), mas f(x)=0 em x=0, então excluímos 0. Logo dom(g/f)=(0,∞).
Definindo f/g: (f/g)(x)=f(x)/g(x)=x³/√x. Como √x=x^(1/2), simplifica-se para x^(5/2). O domínio inicial é [0,∞), mas excluímos x com g(x)=0 (x=0). Logo dom(f/g)=(0,∞).
Definindo g/f: (g/f)(x)=g(x)/f(x)=√x/x³ = x(1/2−3)=x(−5/2)=1/x^(5/2). O domínio original é [0,∞), mas f(x)=0 em x=0, então excluímos 0. Logo dom(g/f)=(0,∞).
Passo 3
Definindo f∘g: (f∘g)(x)=f(g(x))=(√x)³=x^(3/2). Precisa de x em dom
g=[0,∞) e g(x) em dom
f=ℝ (sempre). Logo dom(f∘g)=[0,∞).
Definindo g∘f: (g∘f)(x)=g(f(x))=√(x³). Para a raiz faz sentido, x³≥0 ⇒ x≥0. Então dom(g∘f)=[0,∞).
g=[0,∞) e g(x) em dom
f=ℝ (sempre). Logo dom(f∘g)=[0,∞).
Definindo g∘f: (g∘f)(x)=g(f(x))=√(x³). Para a raiz faz sentido, x³≥0 ⇒ x≥0. Então dom(g∘f)=[0,∞).
Resposta
i) (f+g)(x)=x³+√x, dom(f+g)=[0,∞)
ii) (f/g)(x)=x^(5/2), dom(f/g)=(0,∞)
iii) (g/f)(x)=x(−5/2)=1/x(5/2), dom(g/f)=(0,∞)
iv) (f∘g)(x)=x^(3/2), dom(f∘g)=[0,∞)
v) (g∘f)(x)=√(x³)=x^(3/2), dom(g∘f)=[0,∞)
ii) (f/g)(x)=x^(5/2), dom(f/g)=(0,∞)
iii) (g/f)(x)=x(−5/2)=1/x(5/2), dom(g/f)=(0,∞)
iv) (f∘g)(x)=x^(3/2), dom(f∘g)=[0,∞)
v) (g∘f)(x)=√(x³)=x^(3/2), dom(g∘f)=[0,∞)