Seja sigma(t) o vetor posição de uma partícula dado por
sigma(t)=a cos (omega t) i+a sen(omega t) j
Calcule o vetor velocidade v e o vetor aceleração a dados por v=d sigma(t)d t e a=d v(t)d t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver um exercício de cálculo vetorial! A gente tem a posição de uma partícula dada por sigma(t) = a cos (omega t) i + a sin(omega t) j. Nosso objetivo é encontrar a velocidade v e a aceleração a dessa partícula. Para isso, vamos precisar usar derivadas de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a velocidade v(t), que é a derivada da posição em relação ao tempo. Isso significa que vamos derivar cada componente de sigma(t):
v(t) = dsigma(t)dt = ddt [ a cos (omega t) i + a sin(omega t) j ]
Agora, lembra que a derivada de cos(omega t) é - omega sin(omega t) e a derivada de sin(omega t) é omega cos(omega t). Aplicando isso:
v(t) = -a omega sin(omega t) i + a omega cos(omega t) j

Passo 3

Agora, vamos calcular a aceleração a(t), que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, vamos derivar cada componente de v(t):
a(t) = dv(t)dt = ddt [ -a omega sin(omega t) i + a omega cos(omega t) j ]
Usando novamente as derivadas das funções trigonométricas:
a(t) = -a omega^2 cos(omega t) i - a omega^2 sin(omega t) j

Resposta

A velocidade e a aceleração da partícula são dadas por:
v(t) = -a omega sin(omega t) i + a omega cos(omega t) j
e
a(t) = -a omega^2 cos(omega t) i - a omega^2 sin(omega t) j

Exercícios relacionados