- É proibido o uso de calculadora.
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Calcule
, em que
e
é a curva de interseção do plano
com o cilindro
com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada
, onde
e
é a curva de interseção do cilindro
com o plano
, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Vamos usar parametrização de curvas e a definição de integral de linha em
.
Passo 2
Para parametrizar
, notamos que sua projeção no plano
é o círculo
. Usamos o parâmetro
definindo
o que garante
e
. Como
cresce, vemos a orientação anti-horário quando olhamos de cima.
Passo 3
Calculamos agora
:
Em seguida, substituímos
em
:
Passo 4
Agora fazemos o produto escalar
:
Isso dá
Passo 5
Por fim, a integral ao longo de
é
Usamos que em um período completo de
a
as integrais de
, de
e de
são todas zero (funções ímpares ou com média nula). Portanto a integral total é zero.
Resposta
0