• É proibido o uso de calculadora.
  • Respostas sem justificativa não serão consideradas.
    (3,5) Calcule ointC F cdot d gamma, em que F(x, y, z)=(y^2, x^2, x+z) e C é a curva de interseção do plano z=x com o cilindro x^2+y^2=4 com orientação no sentido anti-horário quando vista de cima.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha fechada ointC vec Fcdot dgamma, onde vec F(x,y,z)=(y^2,,x^2,,x+z) e C é a curva de interseção do cilindro x^2+y^2=4 com o plano z=x, orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. Vamos usar parametrização de curvas e a definição de integral de linha em R^3.

Passo 2

Para parametrizar C, notamos que sua projeção no plano xy é o círculo x^2+y^2=4. Usamos o parâmetro tin[0,2pi] definindo
gamma(t)=l(x(t),y(t),z(t)r)=l(2cos t,,2sin t,,2cos tr),
o que garante x^2+y^2=4 e z=x. Como t cresce, vemos a orientação anti-horário quando olhamos de cima.

Passo 3

Calculamos agora gamma'(t):
gamma'(t)=l(-2sin t,,2cos t,,-2sin tr)
Em seguida, substituímos gamma(t) em vec F:
vec Fl(gamma(t)r)=l((2sin t)^2,,(2cos t)^2,,2cos t + 2cos tr)=l(4sin^2 t,,4cos^2 t,,4cos tr)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar vec F(gamma(t))cdotgamma'(t):
4sin^2 t,(-2sin t) ;+ 4cos^2 t,(2cos t) ;+ 4cos t,(-2sin t)
Isso dá
-8sin^3 t ;+ 8cos^3 t ;- 8sin tcos t

Passo 5

Por fim, a integral ao longo de C é
ointCvec Fcdot dgamma =integral0^2pil[-8sin^3 t+8cos^3 t -8sin tcos tr]dt
Usamos que em um período completo de 0 a 2pi as integrais de sin^3 t, de cos^3 t e de sin tcos t são todas zero (funções ímpares ou com média nula). Portanto a integral total é zero.

Resposta

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