Determine a fórmula particular para a EDO
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento do tipo
. O conteúdo aqui é método dos coeficientes determinados (ou método dos expoentes complexos) e vamos precisar tratar a ressonância, já que a parte não homogênea gera raízes complexas coincidentes com as da equação característica.
Passo 2
Vamos achar primeiro as raízes da equação característica associada à parte homogênea:
Resolvendo,
Como a forçante é
, isso corresponde a
, que coincide com uma das raízes da característica. Logo há ressonância de ordem 1 e nosso palpite para a solução particular deve ser multiplicado por
.
Passo 3
Em vez de lidar com várias derivadas, vamos usar o método dos expoentes complexos. Definimos o operador
Para a raiz complexa
, temos
Como a raiz é simples (multiplicidade 1), a forma da solução complexa particular é
Passo 4
Agora extraímos a parte real de
para obter a solução particular real. Escrevendo
Multiplicando e pegando só a parte real:
A parte real é
, então
$$
y_p(t) = t,e^{2t}\frac{\sin3t}{6}$$
Passo 5
Pronto! Essa expressão é uma solução particular da equação dada. Ela já leva em conta a ressonância e satisfaz
.