Determine a fórmula particular para a EDO y^prime prime-4 y^prime+13 y=e^wed>=(2 t) cos 3 t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma solução particular para a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e forçamento do tipo e^2tcos3t. O conteúdo aqui é método dos coeficientes determinados (ou método dos expoentes complexos) e vamos precisar tratar a ressonância, já que a parte não homogênea gera raízes complexas coincidentes com as da equação característica.

Passo 2

Vamos achar primeiro as raízes da equação característica associada à parte homogênea:
r^2 - 4r + 13 = 0
Resolvendo,
r = 4 pm raiz16 - 522 = 2 pm 3,i
Como a forçante é e^2tcos3t, isso corresponde a r = 2 + 3i, que coincide com uma das raízes da característica. Logo há ressonância de ordem 1 e nosso palpite para a solução particular deve ser multiplicado por t.

Passo 3

Em vez de lidar com várias derivadas, vamos usar o método dos expoentes complexos. Definimos o operador
L(D) = D^2 - 4D + 13
Para a raiz complexa r = 2 + 3i, temos
L(r) = 0 e L'(r) = 2r - 4 = 2(2 + 3i) - 4 = 6i
Como a raiz é simples (multiplicidade 1), a forma da solução complexa particular é
zp(t) = C,t,e^(2+3i)t, C = 1L'(2+3i) = 16i = -i6

Passo 4

Agora extraímos a parte real de zp(t) para obter a solução particular real. Escrevendo
zp(t) = -i6,t,e^2te^3i t = -i6,t,e^2t(cos3t + isin3t)
Multiplicando e pegando só a parte real:
-i6(cos3t + isin3t) = -icos3t6 - i^2sin3t6 = sin3t6 - icos3t6
A parte real é sin3t/6, então
$$
y_p(t) = t,e^{2t}\frac{\sin3t}{6}$$

Passo 5

Pronto! Essa expressão é uma solução particular da equação dada. Ela já leva em conta a ressonância e satisfaz y'' - 4y' + 13y = e^2tcos3t.

Resposta

yp(t)=t,e^2t6,sin(3t)

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