Exercs. 21-28: Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty 8 n^2-7e^n(n+1)^2

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty 8n^2-7e^n(n+1)^2
converge ou diverge usando o teste limite de comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas e o teste de comparação pelo limite; vamos precisar entender que exponenciais crescem muito mais rápido que polinômios e conhecer a convergência da série geométrica.

Passo 2

Para aplicar o teste, escolhemos como série de comparação
bn=1e^n,
pois para grandes n o termo geral
an=8n^2-7e^n(n+1)^2
é do mesmo sinal que bn e ambas são positivas.

Passo 3

Calculamos o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinfty8n^2-7e^n(n+1)^21e^n=limntoinfty8n^2-7(n+1)^2=8
Como 0< L < infty, pelas hipóteses do teste, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

A série sum bn=sum 1/e^n é geométrica de razão 1/e<1, logo convergente. Pelo teste limite de comparação, a série original também converge.

Resposta

A série converge.

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