Exercs. 21-28: Use o teste limite de comparação para determinar se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty n^2n^3+1

Passo 1

O exercício pede para testar a convergência da série sumn=1^infty n^2n^3+1 usando o teste limite de comparação. O conteúdo principal é séries numéricas e especificamente o teste de comparação pelo limite, que exige escolher uma série de referência simples e calcular o limite da razão entre seus termos.

Passo 2

Como n cresce, temos n^3+1sim n^3, então o termo geral an=n^2n^3+1 se comporta como bn=1n. Vamos aplicar o teste de comparação pelo limite:

Passo 3

Calculamos o limite
L=limntoinftyanbn=limntoinftyn^2n^3+11n=limntoinftyn^3n^3+1=1
Como 0< L, o teste diz que sum an e sum bn têm o mesmo comportamento de convergência.

Passo 4

Sabemos que sumn=1^infty1n é a série harmônica, que diverge. Logo, pelo teste do limite de comparação, a série dada também diverge.

Resposta

A série diverge.

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