Exercs. 29-46: Determine se a série converge ou diverge.
sumn=1^infty sen n+2^nn+5^n

Passo 1

Temos a série sumn=1^infty sin n +2^nn+5^n. O conteúdo é teste de convergência de séries infinitas. Para resolver, vamos usar comparação com uma série geométrica e o fato de que sin n é limitado.

Passo 2

Para estudar o termo geral an = sin n +2^nn+5^n, note que sin n varia entre -1 e 1. Logo, para n grande, o numerador é dominado por 2^n e o denominador por 5^n.

Passo 3

Para todo n>=1 valem as desigualdades
|sin n +2^n| <= 1 +2^n <= 2^n+1,
n +5^n >= 5^n
Com isso obtemos
|sin n +2^nn+5^n| <= 2^n+15^n = 2(25)^n

Passo 4

A série sum 2l(tfrac25r)^n é geométrica com razão 2/5<1, portanto converge. Pelo teste da comparação, sum an converge absolutamente e, consequentemente, converge.

Resposta

A série converge absolutamente (logo, converge).

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