Determine uma fórmula para o termo geral
das sequências, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue e verifique quais sequências são convergentes.
Passo 1
O enunciado pede a fórmula do termo geral da sequência
e depois verificar se ela é convergente.
Conteúdo envolvido: sequências periódicas (período 2) e definição de convergência de sequência numérica.
Conteúdo envolvido: sequências periódicas (período 2) e definição de convergência de sequência numérica.
Passo 2
Observando os termos, vemos que para índices ímpares o valor é ímpar},\ 1, & se
par. \end{cases}]
Passo 3
Para obter uma expressão única, note que
quando
é ímpar e
quando
é par. Queremos um
que seja
se
e
se
. Uma combinação que funciona é
Passo 4
Verificação rápida:
– Se ímpar então
e
– Se
– Se
par então
e
Confere a sequência dada.
Passo 5
Para testar convergência, considere as duas subsequências:
– para todo
, cujo limite é
.
– para todo
, cujo limite é
.
Como esses dois limites são diferentes, a sequência não tem limite único.
–
–
Como esses dois limites são diferentes, a sequência não tem limite único.
Resposta
Fórmula do termo geral:
A sequência não é convergente (diverge).