Determine uma fórmula para o termo geral an das sequências, assumindo que o padrão dos primeiros termos continue e verifique quais sequências são convergentes.
5,1,5,1,5,1, ldots

Passo 1

O enunciado pede a fórmula do termo geral da sequência
5,1,5,1,5,1,dots
e depois verificar se ela é convergente.
Conteúdo envolvido: sequências periódicas (período 2) e definição de convergência de sequência numérica.

Passo 2

Observando os termos, vemos que para índices ímpares o valor é ímpar},\ 1, & se par. \end{cases}]

Passo 3

Para obter uma expressão única, note que (-1)^n = -1 quando n é ímpar e +1 quando n é par. Queremos um an que seja 5 se (-1)^n=-1 e 1 se (-1)^n=+1. Uma combinação que funciona é
an = 3 - 2,(-1)^n

Passo 4

Verificação rápida:
– Se n ímpar então (-1)^n=-1 e
an = 3 - 2(-1) = 3 + 2 = 5
– Se n par então (-1)^n=+1 e
an = 3 - 2(1) = 1
Confere a sequência dada.

Passo 5

Para testar convergência, considere as duas subsequências:
a2k-1=5 para todo k, cujo limite é 5.
a2k=1 para todo k, cujo limite é 1.
Como esses dois limites são diferentes, a sequência não tem limite único.

Resposta

Fórmula do termo geral:
an = 3 - 2,(-1)^n
A sequência não é convergente (diverge).

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