Determine uma fórmula para o termo geral
da sequência, assumindo que o padrão continue, e que os primeiros termos são
. Verifique se a sequência é convergente.
Passo 1
O enunciado nos dá os primeiros termos da sequência
e pede para encontrar uma fórmula geral
supondo que o padrão continue, e verificar se ela converge. Vamos analisar padrões de numerador e denominador e depois testar convergência.
Passo 2
Observando o denominador vemos que são potências de 7, pois
,
,
etc. Logo o denominador do termo geral deve ser
.
Passo 3
O numerador varia como
. A magnitude cresce de forma linear somando 1 a cada termo, começando em 3 quando
, ou seja,
. O sinal alterna
, o que corresponde a um fator
.
Passo 4
Combinando numerador e denominador obtemos
Passo 5
Para verificar se
converge, notamos que o numerador cresce linearmente em
, enquanto o denominador cresce exponencialmente como
. Como uma função exponencial domina um polinômio, segue que
Portanto, a sequência é convergente.