Determine uma fórmula para o termo geral an da sequência, assumindo que o padrão continue, e que os primeiros termos são 37, -449, 5343, -62401, 716807, ldots. Verifique se a sequência é convergente.

Passo 1

O enunciado nos dá os primeiros termos da sequência ltfrac37,tfrac-449,tfrac5343,tfrac-62401,dotsr e pede para encontrar uma fórmula geral an supondo que o padrão continue, e verificar se ela converge. Vamos analisar padrões de numerador e denominador e depois testar convergência.

Passo 2

Observando o denominador vemos que são potências de 7, pois 7=7^1, 49=7^2, 343=7^3 etc. Logo o denominador do termo geral deve ser 7^n.

Passo 3

O numerador varia como 3,-4,5,-6,7,dots. A magnitude cresce de forma linear somando 1 a cada termo, começando em 3 quando n=1, ou seja, lvertnumrvert = n+2. O sinal alterna +,-,+,-,dots, o que corresponde a um fator (-1)^n+1.

Passo 4

Combinando numerador e denominador obtemos
an = (-1)^n+1n+27^n

Passo 5

Para verificar se an converge, notamos que o numerador cresce linearmente em n, enquanto o denominador cresce exponencialmente como 7^n. Como uma função exponencial domina um polinômio, segue que
limntoinftyan = 0
Portanto, a sequência é convergente.

Resposta

an = (-1)^n+1n+27^n, limntoinftyan = 0

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